EM Simulation 16 · 時間領域と周波数領域 — 1 回の計算で広帯域が出る仕組み

Chapter 16

時間領域と周波数領域 — 1 回の計算で広帯域が出る仕組み

この章のゴール.

「FDTD を 1 回回すだけで全周波数の S パラメータが出る」理由を、 フーリエ変換の言葉で説明できること。 打ち切り誤差・因果性・TDR という、時間と周波数を行き来するときの 3 つの論点を押さえること。

この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. FDTD（01 章 5 節）、FEM（01 章 5 節）、MoM（01 章 5 節）、シミュレーション（01 章 3 節）、モデル化誤差（01 章 4 節）、領域（01 章 5 節）、発散（02 章 2 節）、分散性（03 章 6 節）、非線形（03 章 6 節）、数値分散（05 章 6 節）、EMI（06 章 6 節）、TDR（06 章 6 節）、クーラン条件（06 章 1 節）、寸法（10 章 1 節）、ポート（12 章 1 節）、励振（12 章 1 節）、メッシュ（13 章 7 節）、対称性（14 章 4 節）

1. なぜ 1 回で広帯域なのか

線形時不変（LTI）な系では、インパルス応答が系のすべてを決める。 入力 \(x(t)\) に対する出力は畳み込みで書け、周波数領域では単なる掛け算になる:

\[ y(t) = h(t) * x(t) \quad\Longleftrightarrow\quad Y(\omega) = H(\omega)\,X(\omega) \]

したがって

\[ \boxed{\;H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{\mathcal{F}\{y(t)\}}{\mathcal{F}\{x(t)\}}\;} \]
1 回の計算で広帯域が出る仕組み広帯域パルスを入力x(t)時間発展を計算FDTD出力波形を記録y(t)両方を FFT して割るY(ω)/X(ω)H(ω) = F{y(t)} / F{x(t)}周波数領域なら 200 点の掃引に 200 回。時間領域なら 1 回で 2000 点でも同じコストただしポートの数だけ計算が要る（各ポートを順に励振する）
線形時不変系ではインパルス応答が系のすべてを決める。この当たり前の事実が時間領域ソルバの最大の武器になる

広帯域のパルスを 1 回入れて、出力波形を FFT し、入力の FFT で割る—— それだけで全周波数の伝達関数が得られる。

S パラメータも同じである。ポート \(j\) に入射波 \(a_j(t)\) を入れ、ポート \(i\) で \(b_i(t)\) を記録して

\[ S_{ij}(\omega) = \frac{\mathcal{F}\{b_i(t)\}}{\mathcal{F}\{a_j(t)\}} \]

これが時間領域ソルバの最大の武器である.

周波数領域ソルバ（FEM・MoM）は 1 周波数ごとに行列を解き直す。 200 点の掃引なら 200 回である。 時間領域なら1 回の時間発展で 200 点でも 2000 点でも同じコストで出せる。

ただしポートの数だけ計算が要ることに注意する。 \(N\) ポートの S 行列を全部埋めるには、各ポートを順に励振して \(N\) 回回す （対称性を使えば減らせる）。

分解能と帯域 — DSP と全く同じ関係周波数分解能 Δf = 1/T計算した総時間 T が決める→ 鋭い共振を見たければ長く計算する最高周波数 f_max = 1/(2Δt)時間ステップが決める（ナイキスト）→ Δt はクーラン条件でセルに縛られる実用上、上限を決めるのはナイキストではなくメッシュであるメッシュが波長を解像できる周波数（10〜20 セル/λ）を超えると、数値分散で信用できなくなる「FFT が出す周波数」と「信じてよい周波数」は違うグラフが描けるからといって、解析帯域の上限を超えた領域を読んではいけない励振パルスに含まれていない周波数も同様である（12 章）
細かい分解能が欲しければ長く、高い周波数まで欲しければ細かく——両方欲しければ計算量が二重に増える

2. 分解能と帯域 — DSP と全く同じ関係

FFT の性質がそのまま効く（姉妹シリーズ「動いて理解するデジタル信号処理」02 章・04 章）。

量決めるもの式
周波数分解能計算した総時間 \(T\)\(\Delta f = 1/T\)
最高周波数時間ステップ \(\Delta t\)\(f_{\max} = 1/(2\Delta t)\)（ナイキスト）
欲しいものやること
細かい周波数分解能（鋭い共振を見たい）長く計算する
高い周波数まで（広帯域）\(\Delta t\) を小さく＝セルを細かく（クーラン条件、06 章）

実用上、\(f_{\max}\) を決めるのはナイキストではなくメッシュである.

クーラン条件により \(\Delta t\) はセルサイズに縛られているので、 ナイキスト周波数は常に非常に高い。 しかしメッシュが波長を解像できる周波数（10〜20 セル/λ、04 章）を超えると、 数値分散で結果が信用できなくなる。

「FFT が出してくれる周波数」と「信じてよい周波数」は違う。 グラフが描けるからといって、解析帯域の上限を超えた領域を読んではいけない。

3. 打ち切り誤差 — S パラメータがギザギザになる原因

13 章で触れた問題を、ここで正面から扱う。

時間波形をエネルギーが残ったまま打ち切ると、波形に矩形窓を掛けたことになる。 矩形窓のスペクトルは sinc 関数なので、真のスペクトルと畳み込まれてリップルが乗る。

打ち切り誤差 — S パラメータがギザギザになる原因時間波形ここで打ち切り残っているスペクトルリップルが乗る（周期 ≈ 1/T）FFT症状から原因を当てる細かく等間隔に波打つ → 打ち切り誤差（もっと長く計算する）滑らかだが実測とずれる → モデル化誤差（材料・形状・ポート）高域だけノイズ的に暴れる → 励振パルスにその成分が乏しい（12 章）
窓関数を掛ければリップルは減るが周波数分解能が落ちる。DSP シリーズ 04 章と全く同じトレードオフである
対処効果代償
もっと長く計算する根本解決計算時間
窓関数を掛ける（ハン窓など）リップルが減る周波数分解能が落ちる。鋭い共振が鈍る
信号処理で外挿（Prony 法、行列ペンシル法）短い計算で高分解能モデル次数の選択が要る。誤ると偽の共振が出る

症状から原因を当てる.

4. 因果性 — 周波数領域から時間領域へ戻すとき

逆の変換（周波数領域の結果を時間波形に戻す）にも落とし穴がある。 物理的な系は因果的——入力より前に出力が出ない——でなければならない。

因果性は周波数領域ではクラマース・クローニッヒの関係（実部と虚部がヒルベルト変換で結ばれる）として現れる。 数値計算で得た S パラメータは、これを厳密には満たさない。

原因症状
周波数点が粗い逆 FFT でエイリアシング（周波数のサンプルが粗すぎて、時間軸上で応答が折り返して重なる現象）。\(t<0\) に応答が出る
帯域が足りない（DC や高域が無い）波形の立ち上がりが崩れる。ベースラインがずれる
数値誤差でパッシブ性を破る時間領域シミュレーションが発散する

対策は、低域を DC まで外挿し、高域を減衰させて打ち切り、パッシブ化・因果化処理を掛けることである （14 章で述べた「SPICE が発散する」の対処と同じ）。

5. TDR — 時間領域で不整合の場所を見つける

周波数領域の \(S_{11}\) を逆フーリエ変換すると、時間領域反射（TDR）波形が得られる。 これは「入力からステップを入れたとき、どのタイミングでどれだけ反射が返ってくるか」を示す。

TDR — S₁₁ を逆変換して不整合の場所を見つける時間（＝距離）反射上向き = Z が上がる下向き = Z が下がる終端d = c·t / (2√εr,eff)時間が距離に対応する波形の読み方上向き: 細い線・ギャップ下向き: パッド・余分な容量周波数グラフでは「1.8 GHz で反射が大きい」しか分からないTDR なら「入力から 12 mm の位置で容量性の不整合」と場所が特定できる分解能 Δd ≈ v/(2B) —— レーダーの距離分解能と同じ式である
20 GHz まで解析していれば基板上で数 mm の分解能。18 章のシグナルインテグリティではこの見方が主役になる

時間は距離に対応するので、どこに不整合があるかが分かる:

\[ d = \frac{v \cdot t}{2} = \frac{c\,t}{2\sqrt{\varepsilon_{r,\text{eff}}}} \]

（往復なので 2 で割る。レーダーシリーズ 01 章と同じ式である。）

TDR 波形の形意味
上向きの段インピーダンスが上がる不連続（細い線、ギャップ）
下向きの段インピーダンスが下がる不連続（太い線、パッド、余分な容量）
山と谷のペアビア、コネクタなど寸法を持つ不連続

TDR は最強のデバッグ道具である.

\(S_{11}\) の周波数グラフを見て「1.8 GHz で反射が大きい」と分かっても、 どこが悪いかは分からない。 TDR に変換すれば「入力から 12 mm の位置で容量性の不整合」と場所が特定できる。

分解能は帯域で決まる（\(\Delta d \approx v/(2B)\)——レーダーの距離分解能と同じ式）。 20 GHz まで解析していれば、基板上で数 mm の分解能が得られる。 18 章のシグナルインテグリティでは、この見方が主役になる。

時間波形と周波数特性を行き来する

パルスを入れて時間応答を得て、FFT で周波数特性に変える一連の流れを実行できる。 計算時間を短く切ったときにスペクトルがどう荒れるか（打ち切り誤差）も試せる。

6. どちらの領域で解くべきか — 再訪

09 章の判断を、この章の知識で補強する。

状況推奨理由
広帯域の S パラメータ時間領域1 回で全部
鋭い共振（高 Q フィルタ）周波数領域時間領域は分解能のため長時間が要る
過渡応答・TDR・EMI パルス時間領域そのまま出る
分散性材料が多い周波数領域各周波数で \(\varepsilon(\omega)\) を入れるだけ
非線形素子を含む時間領域周波数領域では扱えない
数点の周波数だけ知りたい周波数領域時間発展の待ち時間が無駄

7. この章のまとめ

ポイント内容
広帯域の原理\(H(\omega) = \mathcal{F}\{y\}/\mathcal{F}\{x\}\)。1 回のパルスで全周波数
分解能と帯域\(\Delta f = 1/T\)、上限はメッシュが決める（ナイキストではない）
打ち切り誤差エネルギーが残ったまま切るとS パラメータがリップルする
因果性逆変換時の要注意点。パッシブ化・因果化しないと SPICE が発散
TDR\(S_{11}\) の逆変換で不整合の場所が分かる。最強のデバッグ道具