Chapter 10

角度を測る — 受信位相の差から方位へ

この章のゴール.
「アンテナを 2 本並べると、届く波にわずかな行程差ができ、それが位相差になる」—— この 1 つの幾何から、角度の式・視野・分解能・MIMO までを積み上げること。距離 FFT・ドップラー FFT（09 章）に続く第 3 の FFT が見えたら勝ちである。
この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. アンテナ・信号処理（01 章 2 節）、分解能（01 章 4 節）、波長・位相（02 章 1〜2 節）、エイリアシング（05 章 4 節）、相互相関（06 章 6 節）、FFT・フェーザ（07 章 6 節）、\(v_{\max}\)（07 章 7 節）、ビート・チャープ（08 章 3 節）、RD マップ・距離ビン（09 章 2〜3 節）

1. 問題 — 距離と速度だけでは「どこ」か分からない

RD マップ（09 章）は「30 m 先・10 m/s」までは教えてくれるが、それが正面なのか右 20° なのかは教えてくれない。角度の情報はどこに眠っているか——複数のアンテナで受けたときの、受信信号どうしの差である。

2. 原理 — 2 本のアンテナと行程差

受信アンテナを 2 本、間隔 \(d\) で横に並べ、左をアンテナ 1、右をアンテナ 2 と呼ぶ。目標は十分遠くにあるとする。すると目標からの波は平面波——波面（同じ位相にある点をつないだ面）が互いに平行な平面になっている波——として届く（遠方だから球面の曲がりが無視できる。これを遠方界近似と呼ぶ。図は上から見た断面なので波面は平行な直線として描かれる）。

波の到来方向が正面から右へ角度 \(\theta\) だけずれているとき、波面は斜めに入射するから、右のアンテナ 2 に先に届き、左のアンテナ 1 には少し遅れて届く。アンテナ 1 まで波が余分に飛ぶ道のりは、アンテナ間隔 \(d\) を斜辺、波の進行方向に沿った長さを 1 辺とする直角三角形から

\[ \Delta L = d \sin\theta \]

斜めから来る波は片方のアンテナに少し遅れて届く。海岸の 2 本の杭のどちらが先に濡れるか、と同じ幾何である

直感: 岸に斜めに打ち寄せる波.
海岸に杭を 2 本立てる。波が真正面から来れば 2 本は同時に濡れるが、斜めから来れば手前の杭が先に濡れる。その時間差は杭の間隔と波の角度で決まる。時間差に波の速さを掛けたものが行程差 \(\Delta L\) で、レーダーではこの行程差を波長を物差しにして（位相として）測る。

行程差を位相差に換算する。波は 1 波長進むごとに位相が \(2\pi\) 進む（07 章 2 節）ので、アンテナ 1 の受信位相はアンテナ 2 より

\[ \Delta\phi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda} \]

位相差を測れば角度が出る:

\[ \theta = \arcsin\left(\frac{\lambda \, \Delta\phi}{2\pi d}\right) \]

数値例. 77 GHz（\(\lambda = 3.9\) mm）、\(d = \lambda/2 = 1.95\) mm、目標が 30° の方向にいるとき、 \(\Delta\phi = 2\pi \cdot (1/2) \sin 30^\circ = \pi/2 = 90^\circ\)。十分測れる大きさである。なお距離差そのものは \(d\sin\theta = 1.95 \times 0.5 \approx 1\) mm——距離測定（帯域 1 GHz なら分解能 15 cm、08 章 4 節）では全く見えない差が、 位相でなら見える。「粗い物差し（ビート）で距離、細かい物差し（位相）で角度と速度」という役割分担である。

位相差から角度を当てる

Web 版のこの見出しの下には動く図がある。目標の方向をスライダーで動かすと、各アンテナに届く波面と受信フェーザ（07 章 6 節）の傾きが連動して変わる。間隔 \(d\) を広げたときに起きる「折り返し」（次節）も試せる。

3. 視野 — なぜ間隔は λ/2 なのか

曖昧さなしに角度を決められる \(\theta\) の範囲を視野と呼ぶ。位相差は ±180° までしか区別できない（07 章の速度と同じ理屈）。一意に読める条件は

\[ |\Delta\phi| \leq \pi \quad\Longleftrightarrow\quad |\sin\theta| \leq \frac{\lambda}{2d} \]

\(d = \lambda/2\) ならちょうど \(|\sin\theta| \leq 1\)——±90°、正面の半空間ぜんぶが曖昧さなしで見える。 \(d\) を広げると視野が狭まり、視野外の目標が偽の角度に折り返して現れる（距離・速度に続き、角度にもエイリアシングがある。11 章のグレーティングローブと同じ現象である）。

位相は ±180° までしか区別できない。λ/2 間隔は「角度のナイキスト条件」であり、速度の折り返しと同じ構造である

4. 多素子化 — 第 3 の FFT

素子を \(K\) 本、等間隔 \(d\) で一直線に並べたものを等間隔リニアアレイ（ULA: Uniform Linear Array）と呼ぶ。右端の素子を基準（番号 \(k = 0\)）にして左へ \(k = 1, 2, \dots, K-1\) と番号を振ると、角度 \(\theta\) から届く波の位相は基準に対して

\[ \phi_k = k \cdot \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda} \]

——等差数列である。位相が番号 \(k\) に比例して進む複素数列は、\(k\) を「時刻」と読めば 1 サンプルごとに一定角 \(\Delta\phi\) だけ回るフェーザ列、つまり周波数 \(\Delta\phi/(2\pi)\) [1/サンプル] の正弦波をサンプルしたものと同じ形である。「時間方向の等速回転を FFT したら速度が出た」（09 章）のと全く同じ形で、 素子方向に FFT すれば角度が出る。これを角度 FFTと呼ぶ。

こうしてデータは「距離 × 速度 × 角度」の 3 次元キューブになり、 FMCW レーダーの信号処理は FFT を 3 回かけるだけという美しい構造に落ちる。

距離 × 速度 × 角度の 3 次元に目標が点として浮かぶ。ここまで来れば残りは検出と追尾だけ

5. 角度分解能 — アレイの長さが決める

隣り合う 2 つの角度を区別できる限界も、FFT の分解能から出る。素子方向の「周波数」は \(\sin\theta/\lambda\)（1 m あたりの位相の回転数）で、FFT の分解能は観測長の逆数（08 章 4 節の理屈。時間の \(N T_c\) に当たるのが \(K\) 個のサンプルに間隔 \(d\) を掛けた \(K d\) で、端から端までの物理的な長さ \((K-1)d\) より素子 1 本ぶん長く数える）だから

\[ \Delta\!\left(\frac{\sin\theta}{\lambda}\right) = \frac{1}{K d} \quad\Longrightarrow\quad \Delta(\sin\theta) = \frac{\lambda}{K d} \]

\(\sin\theta\) の小さな変化は \(\Delta(\sin\theta) = \cos\theta \cdot \Delta\theta\)（\(\sin\) の微分）なので、角度の分解能は

\[ \Delta\theta \approx \frac{\lambda}{K d \cos\theta} \;\;[\text{rad}] \]

正面（\(\theta = 0\)）で最も細かく、斜めほど \(\cos\theta\) のぶん粗くなる。\(d = \lambda/2\) なら正面で \(\Delta\theta \approx 2/K\) rad。

受信素子数 \(K\)	角度分解能（正面）
2	57°
4	29°
8	14°
12	9.5°
128	0.9°

4 本では 29°——お話にならない粗さである。 100 m 先の 29° は横幅 50 m。隣の車線どころか道路全体が 1 点に潰れる。素子を増やせばよいが、RX を 1 本増やすたびに受信チェーン（LNA・ミキサ・ADC）が丸ごと 1 系統増える。 チップのピンとコストが爆発する——ここで登場するのが MIMO である。

6. MIMO — 送信を増やして「仮想アンテナ」を作る

MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）レーダーは、受信だけでなく送信も複数使う。鍵になる事実はこれだ:

TX \(m\) から出て RX \(n\) で受かった経路の位相は、「位置 \(x_{TX,m} + x_{RX,n}\) にある 1 本の仮想アンテナ」で受けたのと同じである。

導出は素直である。2 節の幾何は受信に限らない。位置 \(x\) にある送信アンテナから遠方の目標（方向 \(\theta\)）へ向かう波も、平面波として見れば位置 0 の送信アンテナからの波より道のりが \(x\sin\theta\) だけ違う（波の向きを逆にしただけで同じ直角三角形）。よって TX \(m\)（位置 \(x_{TX,m}\)）から出て目標で反射し RX \(n\)（位置 \(x_{RX,n}\)）で受かる往復の道のりは、行きの \(x_{TX,m}\sin\theta\) と帰りの \(x_{RX,n}\sin\theta\) が足し算で効いて、位相は

\[ \phi_{mn} = \frac{2\pi \sin\theta}{\lambda}\,(x_{TX,m} + x_{RX,n}) \]

つまり TX \(M_t\) 本 × RX \(N_r\) 本 = \(M_t N_r\) 本の仮想アレイが手に入る。

具体例——車載ワンチップの定番、3TX・4RX: RX を \(\lambda/2\) 間隔で 4 本（位置 \(0, 0.5\lambda, 1.0\lambda, 1.5\lambda\)）、TX を \(2\lambda\) 間隔（＝RX の間隔 × RX の本数）で 3 本（位置 \(0, 2\lambda, 4\lambda\)）置く。仮想素子の位置は TX 位置 + RX 位置の全組み合わせで、TX \(0\) から \(0, 0.5, 1.0, 1.5\lambda\)、TX \(2\lambda\) から \(2.0, 2.5, 3.0, 3.5\lambda\)、TX \(4\lambda\) から \(4.0, 4.5, 5.0, 5.5\lambda\)—— \(\lambda/2\) 間隔で12 本、隙間なく一直線に並ぶ。アンテナ 7 本・受信チェーン 4 系統の物量で、12 素子ぶんの分解能 9.5° が出る。

受信を増やす代わりに送信を増やす。掛け算（3×4=12）で開口を稼ぐのが MIMO の発明である

送信を見分ける仕掛け — 直交送信

仮想アレイが成立するには、受信側で「どの TX から出た波か」を分離できることが必要である。

方式	仕組み	代償
TDM（時分割）	TX を 1 本ずつ交代で送信。最も簡単で主流	同じ TX の観測間隔が \(M_t\) 倍に開く → 最大速度 \(v_{\max} = \lambda/(4T)\) の \(T\) が \(M_t\) 倍になり \(v_{\max}\) が \(1/M_t\) に低下（18 章の落とし穴）
DDM（ドップラー分割）	全 TX を同時に送るが、TX ごとにチャープごとの位相増分を変えておく。受信ではドップラー軸上で TX ごとに別の場所にずれて現れるので分離できる	速度軸を TX 数で分け合う。目標の速度と位相増分の絡みをほどく処理が要る
符号分割	全 TX を同時に送り、チャープごとに TX ごとの ±1 符号列を掛ける。受信で各符号列との相関を取って分離	処理が複雑。符号どうしの相互相関の残りが偽目標になる

06 章で仕込んだ伏線——「相互相関の低い波形は同時送信しても分離できる」——がここで回収される。

7. 仰角と 2 次元アレイ

ここまでの \(\theta\) は水平方向（方位角）の話だが、素子を縦にも並べれば同じ原理で仰角（上下方向の角度）も測れる。車載では「前方の物体が、路面の継ぎ目か・トラックの下をくぐれる看板か・衝突する壁か」を仰角で見分けたい需要が強く、近年のセンサは仮想アレイを 2 次元に展開している（16 章のイメージングレーダー）。

8. FFT を超える方法 — 名前だけ地図に

角度 FFT はアレイ長で分解能が頭打ちになる。より高い分解能を狙う超分解能法（MUSIC、ESPRIT など——受信データの統計構造を使って FFT の限界を超える角度推定を行うアルゴリズム群）が実用されているが、計算量と信号モデルの仮定（目標数など）への感度が代償になる。本シリーズでは「FFT の先がある」という地図だけ示して先へ進む。

9. この章のまとめ

ポイント	内容
原理	行程差 \(d\sin\theta\) → 位相差 \(\Delta\phi = 2\pi d\sin\theta/\lambda\)
視野	\(d = \lambda/2\) で ±90°。広げると角度が折り返す
第 3 の FFT	ULA では位相が等差数列 → 素子方向 FFT で角度。データは 3D キューブに
分解能	\(\Delta\theta \approx \lambda/(Kd\cos\theta)\)。アレイ全長がすべて
MIMO	仮想素子位置 = TX 位置 + RX 位置。3TX×4RX で 12 素子。TDM は \(v_{\max}\) を削る
拡張	縦に並べれば仰角。FFT の先には超分解能法