Chapter 08

CW・FMCW — 連続波で距離も速度も

この章のゴール.

FMCW の心臓部——ビート周波数 \(f_b = 2RS/c\) ——を導出できること。 そして「RF は 77 GHz でも、ADC は数十 MHz で済む」という FMCW が民生を制覇した理由を、仕組みから説明できること。

この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. アンテナ・信号処理（01 章 2 節）、パルスレーダー（01 章 5 節）、周波数・波長・位相（02 章 1〜2 節）、デューティ比（05 章 5 節）、帯域幅・距離分解能（06 章 3 節）、チャープ（06 章 4 節）、ドップラー周波数 \(f_d\)（07 章 2 節）、パルス間の位相回転・FFT（07 章 6 節）、サンプリング（05 章 4 節）

1. CW レーダー — 出しっぱなしの最小構成

CW（Continuous Wave、連続波）レーダーは、単一周波数 \(f_0\) の電波をひたすら出し続け、 エコーとの周波数差（＝ドップラー、07 章）だけを見る。

送信の一部を受信側に回し（この参照信号をローカル信号と呼ぶ。以下「送信信号」と言うときはこれを指す）、ミキサという部品でエコーと掛け算する。 周波数 \(f_1\) と \(f_2\) の 2 つの正弦波の積は、三角関数の積和公式

により「差の周波数」と「和の周波数」の 2 成分になる。和の成分（ここでは約 154 GHz）はフィルタで捨て、差の成分だけを残す。 この「掛け算して差の周波数を取り出す操作」をミキシングと呼ぶ。 CW レーダーでは送信 \(f_0\) とエコー \(f_0 + f_d\) の差、すなわち \(f_d = 2v/\lambda\) の正弦波が出てくる。 速度取締り機・野球のスピードガン・自動ドアのセンサがこれである。部品は最少、原理は最短。

しかし致命的な欠落がある。距離が全く測れない。 一定の正弦波はどこを切っても同じ形で、「いつ送った部分が返ってきたのか」を示す時間の目印がないからだ。

2. FMCW — 周波数を滑らせて時間の目印を作る

目印の作り方はもう知っている——06 章のチャープだ。 送信周波数を時間とともに一定の速さで滑らせ続ける。 これが FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave、周波数変調連続波）である。

チャープ 1 本の諸元を定義する。

送信周波数は \(f_{TX}(t) = f_0 + S\,t\)。時間-周波数平面では傾き \(S\) の斜め線である。

3. ビート周波数の導出 — この章の心臓部

距離 \(R\) の静止目標からのエコーは、往復時間 \(\tau = 2R/c\) だけ遅れた同じ斜め線である（\(t\) はチャープの開始からの時刻。エコーがまだ届かない最初の \(\tau\) 秒間、たとえば 150 m なら 1 µs はこの式が成り立たないので、実装ではその区間のデータを捨てる）:

受信信号を送信信号と 1 節 のミキシングにかけると、 出てくる周波数は 2 本の斜め線の縦の差:

この差の信号をビート信号、その周波数をビート周波数 \(f_b\) と呼ぶ （音叉 2 本のうなり＝beat と同じ言葉である）。 2 本の線は平行だから、ビート周波数は時間によらず一定。そして

ビート周波数は距離に比例する。 \(f_b = \dfrac{2S}{c}\,R\) ——ビートを測れば距離が出る。

数値例. \(S = 20\) MHz/µs、\(R = 30\) m。 \(\tau = 0.2\) µs、\(f_b = 20\,\text{MHz/µs} \times 0.2\,\text{µs} = 4\) MHz。 目標が複数あれば、ビート信号は距離ごとの周波数の混合になる—— FFT で分ければ、全目標の距離が一度に出る（09 章）。

ビート信号を観察する

Web 版のこの見出しの下には、距離とスロープを動かして、TX/RX の斜め線・ビート波形・そのスペクトル（含まれる周波数成分の分布）が連動する様子を見られる動く図がある。 「距離を伸ばすと音程が上がる」対応を体で覚えてほしい。

4. 距離分解能 — また \(c/2B\) に着地する

ビート周波数の違いで 2 目標を区別する。周波数の分解能は観測時間の逆数である。 理由: 周波数が \(\Delta f\) だけ違う 2 つの正弦波は、\(T_c\) 秒の間に位相差が \(2\pi \Delta f T_c\) だけ開く。 これが 1 周（\(2\pi\)）に満たないと 2 つは観測区間の中でほとんど同じ動きをして区別がつかない。 区別できる境目は \(2\pi \Delta f T_c = 2\pi\)、つまり \(T_c\) 秒の窓で区別できる周波数差は \(\Delta f = 1/T_c\) である（同じ理屈を 06 章 3 節で時間側から使った）。したがって

06 章の整合フィルタと同じ式に着地した。 分解能を決めるのは帯域幅——方式によらない普遍則である。 2 節 の例の \(B = 1\) GHz なら 15 cm。77〜81 GHz の 4 GHz をフルに使えば 3.75 cm——指の動きが分かる細かさだ。

5. 動く目標 — ビートに紛れ込むドップラー

目標が速度 \(v\)（近づく向きを正）で動くと、エコーの周波数にはドップラー \(f_d = 2v/\lambda\) が上乗せされ、\(f_{RX}(t) = f_0 + S(t - \tau) + f_d\) になる。ビート周波数 \(f_b = f_{TX} - f_{RX}\) は

（周波数を上げていくチャープをアップチャープ、下げていくチャープをダウンチャープと呼ぶ。上の式はアップチャープの場合で、近づく目標はビートを下げる。）距離と速度が 1 つの数に混ざってしまった。 分離する道は 2 つある。

道 1: 三角波 FMCW（古典）

アップチャープとダウンチャープを交互に打つ。ダウンチャープでは斜め線の傾きが \(-S\) になるので \(f_{RX} = f_0 - S(t - \tau) + f_d\)、送信との差は \(-S\tau - f_d\) で、ビート信号として観測される周波数はその大きさ \(S\tau + f_d\) である。まとめると

距離項は同符号、ドップラー項は逆符号なので、

とアップとダウンのビートの和と差から \(R\) と \(v\) が解ける。 ただし目標が複数いると組み合わせが爆発する（どのアップのビートとどのダウンのビートが同じ目標か分からない）。

道 2: 高速チャープ（現代の主流）

スロープ \(S\) を大きくして距離項を圧倒的に大きくする。 \(S = 20\) MHz/µs・\(R = 30\) m の距離項 4 MHz に対し、30 m/s のドップラーは 15.4 kHz——260 倍小さい。 そこで

• チャープ 1 本の中: ドップラーを誤差として無視し、ビート＝距離と読む
• チャープからチャープへ: 同じ目標の位相が \(\Delta\phi = 4\pi v T_c/\lambda\) ずつ回る—— 07 章のパルス間位相回転と同じ。これを FFT して速度を読む

つまり「チャープ＝パルス」と読み替えれば、パルスレーダーの理論がそのまま使える。 複数目標も距離ビンごとに分かれるので混乱しない。この高速チャープ方式の全体像が次章である。

6. FMCW が民生を制覇した理由 — ADC が安い

受信した 77 GHz をそのままデジタル化するには、最高周波数の 2 倍以上でサンプルせよというサンプリング定理（DSP シリーズ 01 章）から毎秒 \(2 \times 77 = 154\) G サンプル（1540 億サンプル）級の ADC（アナログ信号を数値に変換する部品）が要る。非現実的だ。 FMCW はミキサでビートまで落としてからサンプルする。ビートの最大値は最遠目標で決まり、

\(R_{\max} = 100\) m、\(S = 20\) MHz/µs でも 13.3 MHz——数十 MHz の ADC で足りる。

「RF の困難をアナログの掛け算 1 回で IF に畳み込む」——これが FMCW の発明の核心である.

ミキサ出力の帯域（IF 帯域。IF = Intermediate Frequency、中間周波数）が ADC と後段処理の速度を決め、それが最大距離を決める。 「\(R_{\max}\) を伸ばしたければ IF 帯域を広げるかスロープを緩める」—— この設計連鎖は 18 章の設計手順で主役になる。

もう 1 つの利点: 送信が連続なのでピーク電力が小さくて済む（05 章のデューティ比問題が消える）。 数十 mW の半導体アンプで実用になる——ワンチップ化への道である。

弱点も対で覚える: 送りっぱなし＋受けっぱなしなので、送信の受信側への漏れ込み（リーク）が常にあり、 これは遅れ \(\tau \approx 0\) のエコーと同じなので \(f_b \approx 0\)、つまり距離ゼロ付近に強い偽ビートを作る。アンテナ分離やハイパスフィルタで抑える（12 章・16 章）。

7. この章のまとめ