Chapter 07

ドップラー — 速度は位相の回転として見える

この章のゴール.
ドップラー周波数 \(f_d = 2v/\lambda\) を 2 通りで導出できること。そして「1 発のパルスでは速度は見えない。パルスからパルスへの位相の回転として見る」という現代レーダーの速度測定の実像をつかむこと。
この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. 信号処理（01 章 2 節）、周波数・波長・位相（02 章 1〜2 節）、歩行者（04 章 2 節）、パルス幅 \(\tau_p\)・PRI・PRF（05 章 1 節）、最大不明確距離 \(R_{\text{ua}}\)（05 章 4 節）、複素数（06 章 2 節）

1. 現象 — 動くものからのエコーは周波数がずれる

救急車のサイレンは、近づくとき高く、遠ざかると低く聞こえる。ドップラー効果である。レーダーでも同じことが起きるが、音の場合と 1 つ違う: 電波は往復するので、目標が動いた距離の 2 倍だけ電波の道のりが変わる。「目標が受けるときと送り返すときの 2 回、周波数がずれる」と言っても同じことで、2 節は前者の見方、3 節は後者の見方で同じ式を導く。

円弧がエコーの波面。近づく目標の左側（レーダー側）では間隔が狭い＝波長が縮む＝周波数が上がる

直感: 波が挟まれて縮む.
近づく目標は、送信波の波面を「追いかけながら」反射する。目標が波 1 個ぶん進む間に波は前から押し寄せるので、反射波の波面間隔は詰まる——波長が縮む＝周波数が上がる。行き（目標が受けるとき）で 1 回、帰り（目標が送り返すとき）で 1 回、合計 2 回縮む。 1 回ごとの縮みは割合 \(v/c\) 程度で、2 回でおよそ \(2v/c\) の割合だけ縮む（正確な計算は 3 節）。

2. 導出 1 — 位相から（こちらが本筋）

レーダーの信号処理では、エコーを複素数（振幅と位相）として扱う。位相とは波の周期のどこにいるかを角度で表したもので、ここでは 1 周期を \(2\pi\) rad（＝360°）と数える。波は 1 波長進むごとに位相が 1 周期ぶん、つまり \(2\pi\) だけ進むので、道のり \(d\) を飛んだ電波の位相は送信時から \(2\pi d/\lambda\) だけずれる。距離 \(R\) を往復した電波は道のり \(2R\) を飛ぶから

\[ \phi = -\,\frac{2\pi \cdot 2R}{\lambda} = -\,\frac{4\pi R}{\lambda} \]

（マイナスは「遅れ」の符号。届いた波は送信した波より遅れているので、位相を負の向きに取る。）

目標が速度 \(v\) で動くとし、レーダーに近づく向きを \(v\) の正と決める。時刻 \(t\) の距離は \(R(t) = R_0 - vt\) で、位相は時間とともに回転する:

\[ \phi(t) = -\,\frac{4\pi (R_0 - vt)}{\lambda} = \phi_0 + \frac{4\pi v}{\lambda}\,t \]

位相の回転速度（角周波数）を \(2\pi\) で割れば周波数のずれ、すなわちドップラー周波数:

\[ f_d = \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi}{dt} = \frac{2v}{\lambda} \]

近づく（\(v>0\)）と正、遠ざかると負。 係数 2 は往復の 2 である。

「距離が λ/2 縮むごとに位相が 1 回転する」と読める。位相は距離のミクロン級の変化まで感じる物差しである

3. 導出 2 — 周波数の伸縮から（検算）

送信周波数 \(f_0\)（波長 \(\lambda = c/f_0\)）の波を、速度 \(v\) で近づく目標が受ける。

行き. 目標が止まっていれば 1 秒に \(f_0\) 個の波面が通過する。目標が波に向かって \(v\) で進むと、1 秒に \(v\) だけ余分に前進し、その区間に並んでいる \(v/\lambda\) 個の波面を追加で横切る。よって目標が受ける周波数は

\[ f' = f_0 + \frac{v}{\lambda} = f_0\left(1 + \frac{v}{c}\right) \]

帰り. 目標はこの周波数 \(f'\) で送り返しながらレーダーへ近づく。1 周期 \(1/f'\) の間に目標が \(v/f'\) だけ前進するので、送り返される波面の間隔は \(c/f'\) から \(c/f' - v/f' = (c - v)/f'\) に詰まる。レーダーが受ける周波数はその逆数に \(c\) を掛けて

\[ f_r = \frac{c}{(c-v)/f'} = \frac{f'}{1 - v/c} = f_0\,\frac{1 + v/c}{1 - v/c} \]

\(v \ll c\) なので \(1/(1 - v/c) = 1 + v/c + (v/c)^2 + \cdots\) と展開し、\((v/c)^2\) 以上を捨てると

\[ f_r \approx f_0\left(1 + \frac{v}{c}\right)^2 \approx f_0\left(1 + \frac{2v}{c}\right) \quad\Longrightarrow\quad f_d = f_r - f_0 = \frac{2v}{c}f_0 = \frac{2v}{\lambda} \]

同じ式に着地した。

4. 数値の土地勘 — ドップラーは小さい

77 GHz（\(\lambda = 3.9\) mm）での値を並べる。

目標の速度	\(f_d = 2v/\lambda\)
歩行者 1 m/s	513 Hz
自転車 5 m/s	2.6 kHz
車 30 m/s（108 km/h）	15.4 kHz

搬送波（変調を載せる土台の波。ここでは 77 GHz）に対して、ずれは車でも \(15.4\,\text{kHz}/77\,\text{GHz} = 2\times10^{-7}\)、歩行者では \(7\times10^{-9}\) と、1000 万分の 1 以下である。

だから「周波数計で測る」のは筋が悪い。位相で見る.
77.000000000 GHz と 77.000015400 GHz を直接区別するのは絶望的だが、送信に使った発振器そのもので受信をミキシング（掛け算して差の周波数を取り出す操作）すれば、搬送波が消えて \(f_d\) だけが残る。数百 Hz〜数十 kHz——音声帯域の信号だ。実際、速度取締り機やドップラーセンサの出力をスピーカーにつなぐと「ヒュイーン」と鳴る。

5. 重要な但し書き — 測れるのは視線方向の速度だけ

ドップラーが感じるのは距離 \(R\) の変化率だけである。目標の速度ベクトル（大きさ \(v\)）とレーダーへ向かう向き（視線方向）のなす角を \(\alpha\) とすると、見えるのはレーダーへ向かう成分（視線方向速度・ラジアル速度）\(v_r = v\cos\alpha\) だけである。真横に横切る目標（\(\alpha = 90^\circ\)）はドップラー 0——速度上は静止物と区別がつかない。

レーダーに向かう成分（ラジアル速度）だけが周波数に現れる。横切りは速度上、静止物と区別できない

これは欠点であると同時に、追尾（15 章）や角度測定（10 章）と組み合わせて初めて「本当の速度ベクトル」が得られる、という設計上の前提でもある。

6. 1 発では見えない — パルス間の位相回転で測る

パルス幅 \(\tau_p = 1\) µs の 1 発の中で、4 節の車（\(f_d = 15.4\) kHz、以下 15 kHz と丸める）の位相はどれだけ回るか。 \(2\pi f_d \tau_p = 2\pi \times 15000 \times 10^{-6} = 0.094\) rad——たった 5.4° である。1 発の中の変化はほぼ検出不能だ。

そこで発想を変える。パルスを PRI = \(T\) 間隔で並べ、同じ目標のエコーの位相をパルス番号順に追う。 1 パルスごとの位相の進みは

\[ \Delta\phi = 2\pi f_d T = \frac{4\pi v T}{\lambda} \]

\(T = 10\) µs（PRF = 100 kHz）なら \(2\pi \times 15000 \times 10^{-5} = 0.94\) rad、1 パルスあたり 54°——今度は堂々と見える。パルス番号 \(n\) に対する位相 \(\phi_n = \phi_0 + n\,\Delta\phi\) は等速回転、つまりサンプリング周波数 PRF でサンプルされた周波数 \(f_d\) の正弦波である。

等間隔にサンプルした数列を「どの周波数の正弦波がどれだけ含まれているか」に分解する計算がフーリエ変換で、それをサンプル数 \(N\) に対して \(N\log N\) 程度の演算量で行う高速な手順が FFT（Fast Fourier Transform、高速フーリエ変換）である（周波数 \(f\) の成分を取り出すには、各サンプルに「周波数 \(f\) で逆向きに回る位相」を掛けてから全部足す。目標の \(f_d\) に合った \(f\) でだけ位相が揃って大きな和になる）。位相の列を FFT すれば \(f_d\) が読める——09 章の「ドップラー FFT」の正体を、いま先取りした。

1 発の中では 5° しか回らない位相が、パルスを跨ぐと 1 発ごとに数十° 回る。速度は「パルス間」で測る

位相の回転から速度を読む

Web 版のこの見出しの下には、エコーの複素数（フェーザ: 振幅を長さ、位相を向きとする矢印として複素数を描いたもの）がパルスごとに回転する様子を見られる動く図がある。速度を上げていくと回転が速くなり、やがて逆回転に見える——次節の折り返しである。

7. 速度の曖昧さ — 位相は ±180° までしか区別できない

位相の進み \(\Delta\phi\) が \(+190^\circ\) だったとする。これは \(-170^\circ\) と区別がつかない（1 回転引いても同じ位置に来るから）。つまり一意に読めるのは

\[ |\Delta\phi| \leq \pi \quad\Longleftrightarrow\quad |f_d| \leq \frac{\text{PRF}}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad |v| \leq v_{\max} = \frac{\lambda\,\text{PRF}}{4} = \frac{\lambda}{4T} \]

これを超えた速度は \([-v_{\max}, +v_{\max}]\) の範囲に折り返して現れる。車輪が逆回転して見える映画のフレームレート現象、そのものである（サンプリング定理・エイリアシング——DSP シリーズ 01 章）。

1 サンプル（1 パルス）あたり半回転を超える回転は向きが曖昧になる。速度にも標本化の上限（ナイキスト限界、DSP シリーズ 02 章）がある

数値例. 77 GHz、PRF = 10 kHz（\(T\)=100 µs）なら \(v_{\max} = 0.0039 \times 10000/4 = 9.75\) m/s ≈ 35 km/h。 6 節の車（30 m/s）はこの PRF では位相が 1 パルスあたり 540° 回り、折り返して別の速度に見える。高速道路の相対速度には全然足りない。\(v_{\max}\) を稼ぐには \(T\) を短く—— FMCW がチャープを数十 µs まで詰める理由の 1 つがこれである（08 章〜09 章）。

8. PRF ジレンマ、再訪

05 章の宿題に答えが出せる。

\[ R_{\text{ua}} = \frac{c}{2\,\text{PRF}}, \qquad v_{\max} = \frac{\lambda\,\text{PRF}}{4} \]

掛け算すると PRF が消える:

\[ R_{\text{ua}} \cdot v_{\max} = \frac{c\lambda}{8} = \text{一定} \]

距離の測れる範囲と速度の測れる範囲の積は、波長を選んだ時点で天井が決まっている。波長を長くすれば天井は上がるが、波長は使ってよい周波数帯の割り当てとアンテナの大きさ・分解能で先に決まってしまう（02 章 2〜3 節）ので、自由には選べない。 PRF はその配分を選ぶつまみでしかない。両方を欲張るには、PRF の切り替え（05 章）や中国剰余定理的な解決、あるいは波形自体の工夫が要る——これがレーダー設計の恒常的な悩みである（18 章）。

9. この章のまとめ

ポイント	内容
ドップラー	\(f_d = 2v/\lambda\)。往復だから 2 倍。近づくと正
導出	位相 \(\phi = -4\pi R/\lambda\) の時間微分。または往復 2 回の波の伸縮
大きさ	77 GHz で kHz オーダー。ミキシングで取り出せば音声帯域
視線方向のみ	\(v_r = v\cos\alpha\)。真横の動きは見えない
測り方	1 発では無理。パルス間の位相回転 \(\Delta\phi = 4\pi vT/\lambda\) を FFT で読む
曖昧さ	\(v_{\max} = \lambda/(4T)\)。超えると折り返す。\(R_{\text{ua}} \cdot v_{\max} = c\lambda/8\) 一定