Radar 13 · 検出と CFAR — 雑音の中から本物を拾う

Chapter 13

検出と CFAR — 雑音の中から本物を拾う

この章のゴール.

「しきい値を固定すると、環境が変わった瞬間に誤警報の洪水か全滅が起きる」—— だからしきい値は周囲の雑音から毎回作る（CFAR）、という一連の論理を、 誤警報確率の式まで含めて追えること。

この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. クラッタ（01 章 3 節）、dB（02 章 5 節）、SN 比（SNR）（03 章 3 節）、検波（03 章 5 節）、RCS の揺らぎ・Swerling（04 章 5 節）、複素数（06 章 2 節）、RD マップ・距離ビン（09 章 2〜3 節）、角度推定（10 章）、熱雑音（12 章 2 節）

1. 問題設定 — マップの升目ごとの二択

RD マップ（09 章）は距離ビン × 速度ビンの升目（セル）に区切られていて、各セルには電力値が入っている。 検出とは、セルごとに次の二択を判定することである。

判定は「電力 \(x\) がしきい値 \(T\) を超えたら（\(x > T\)）H1」とするしかない。問題はしきい値をどこに引くかである。

検出はセルごとの二択このセルは？H0: 雑音だけH1: 雑音 + 目標RD マップの数万セルに対して、フレームごとにこの二択を下すのが検出である
判定は「電力がしきい値を超えたか」しかない。問題のすべては、しきい値をどこに引くかに集約される

2. 2 種類の誤り — 誤警報と見逃し

誤り定義起きること
誤警報（false alarm）雑音だけなのに「目標あり」と言う幽霊目標。追尾器が偽物を追い、システムが混乱する
見逃し（miss）目標がいるのに「なし」と言う本物を落とす。安全システムでは致命的

性能は 2 つの確率で語る。

しきい値を上げれば \(P_{fa}\) は下がるが \(P_d\) も下がる。両方を同時に良くする魔法はなく、 あるのは「同じ \(P_{fa}\) でより高い \(P_d\)」を実現する SN 比（以下 SNR とも書く）だけである。 \(P_{fa}\) を固定して SNR と \(P_d\) の関係を描いた曲線が検出性能の標準的な語り方で、 おおよそ「\(P_{fa}=10^{-6}\)、\(P_d=0.9\) には SNR 約 13 dB」が古典的な目安である （RCS が揺らぐ Swerling 目標では、必要な SNR にさらに数 dB 上乗せ——04 章の伏線回収）。

誤警報と検出 — 2 つの分布と 1 本のしきい値セルの電力確率密度雑音だけ（H0）目標あり（H1）しきい値 TT より右の面積: 雑音側の裾 = 誤警報確率 Pfa、信号側の山 = 検出確率 PdT を上げれば Pfa も Pd も下がる。同時に良くする唯一の道は「山を右へ動かす」＝ SN 比を上げること
目安として Pfa=10⁻⁶・Pd=0.9 には SNR 約 13 dB。RCS が揺らぐ目標（04 章）ではさらに数 dB のマージンが要る

3. 雑音は揺れる — 固定しきい値が破綻する理由

熱雑音（12 章）を 2 乗検波（電力に変換）した後の値がどう散らばるかを求める。 FFT 後のセルの値は複素数で、その実部 \(I\) と虚部 \(Q\) はそれぞれ多数の電子の運動の和なので、平均 0・分散 \(\sigma^2\) の正規分布に従い、互いに独立である。 セルの電力は \(x = I^2 + Q^2\)。\(x\) が \(T\) を超える確率は、\((I, Q)\) 平面で原点から距離 \(\sqrt{T}\) より外側の確率だから、極座標 \((r, \theta)\) で

\[ \Pr[x > T] = \int_0^{2\pi}\!\!\int_{\sqrt{T}}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-r^2/2\sigma^2}\, r\,dr\,d\theta = \Bigl[-e^{-r^2/2\sigma^2}\Bigr]_{\sqrt{T}}^{\infty} = e^{-T/2\sigma^2} \]

電力の平均は \(\mu = 2\sigma^2\)（\(I^2\) と \(Q^2\) の平均がそれぞれ \(\sigma^2\)）なので、これは \(e^{-T/\mu}\)。 つまり電力 \(x\) は確率密度 \(\frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}\) の指数分布に従い、しきい値 \(T\) を超える確率は

\[ P_{fa} = \int_T^\infty \frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}dx = e^{-T/\mu} \quad\Longleftrightarrow\quad T = \mu \ln\frac{1}{P_{fa}} \]

\(P_{fa} = 10^{-6}\) にしたければ \(T = \mu \ln 10^6 \approx 13.8\,\mu\)——平均の約 14 倍（\(10\log_{10}13.8 = 11.4\) dB 上）に引けばよい。

この 11.4 dB は「しきい値を雑音平均の何倍に置くか」であって、2 節 の「必要な SNR 13 dB」とは別の量である。 目標のエコーにも雑音が重なって値が揺れるので、目標セルが 9 割の確率でしきい値を超えるには、目標の平均電力がしきい値よりさらに少し上に必要になる——それが 13 dB である。

ここまでは簡単に見える。罠は「\(\mu\) を知っている」という仮定にある。 実際の雑音・クラッタの平均レベルは、距離・角度・天候・場所で何十 dB も変わる。

固定しきい値の破綻距離電力固定しきい値目標（検出できる）雨・クラッタで床が 10 dB 上昇 → 誤警報の洪水指数分布の裾は敏感で、床が 10 dB 動くと Pfa は 10⁻⁶ → 0.25 に暴れるマージンを積んで高くすれば、今度は静かな環境で感度を丸ごと捨てる——固定値に正解はない
雑音・クラッタの床は場所と天候で何十 dB も動く。しきい値は「その場の床」から毎回作るしかない

固定しきい値の末路は 2 通りしかない.

雨が降って雑音レベルが 10 dB 上がれば（\(\mu\) が 10 倍になれば）、\(e^{-T/\mu}\) の指数 \(T/\mu\) は 13.8 から 1.38 へ 1/10 になり、 \(P_{fa}\) は \(e^{-13.8} = 10^{-6}\) から \(e^{-1.38} = 10^{-0.6} \approx 0.25\) へ——4 セルに 1 セルが誤警報の洪水になる。 逆に安全マージンを積んでしきい値を上げておけば、静かな環境では感度を丸ごと捨てる。 結論: しきい値は定数ではなく、その場の雑音レベルから毎回計算するしかない。

4. CFAR — しきい値を周囲から作る

その解が CFAR（Constant False Alarm Rate、定誤警報率）処理である。 名前の通り「\(P_{fa}\) を環境によらず一定に保つ」ことを目的に、 判定したいセルの周囲のセルから雑音レベルを推定し、その定数倍をしきい値にする。

最も基本の CA-CFAR（Cell Averaging CFAR、セル平均法）の窓構造:

部位役割
CUT（Cell Under Test）いま判定するセル
ガードセル（CUT の両脇数個）目標のエネルギーが隣に漏れるぶんを平均から除外するための緩衝帯
参照セル（その外側、両側合わせて \(N\) 個）雑音レベルの推定に使う。平均 \(Z = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i\)

しきい値は \(T = \alpha Z\)。判定: \(x_{\text{CUT}} > \alpha Z\) なら検出。

CA-CFAR — 周囲の平均の α 倍をしきい値に参参参参参GGCUTGG参参参参参参照セル N 個 → 平均 ZG = ガード（目標の漏れを平均から除外）しきい値 T = α·Z, α = N (Pfa^(−1/N) − 1)指数分布の和（ガンマ分布）の積分から閉形式で出るN→∞ の極限では α → ln(1/Pfa)（固定しきい値の理想値）に一致する有限 N の推定ばらつき税 = CFAR ロス: Pfa=10⁻⁶・N=16 で約 2 dB実装では距離×速度の 2 次元窓でかけ、さらに「隣より大きい（ピーク）」を要求して 1 目標 1 検出に絞る
しきい値が雑音レベルに自動追従するので、環境が変わっても Pfa が一定に保たれる——名前の由来である

倍率 α の導出

参照セルが雑音だけ（平均 \(\mu\) の指数分布、互いに独立）と仮定する。 推定 \(Z\) 自体もばらつく確率変数であることが肝で、\(P_{fa}\) は「CUT が \(\alpha Z\) を超える確率」を \(Z\) のばらつきごと平均して計算する必要がある。 \(Z\) の値が決まれば CUT がそれを超える確率は 3 節 より \(e^{-\alpha Z/\mu}\) なので、\(P_{fa}\) はその平均（期待値）

\[ P_{fa} = \mathbb{E}\left[e^{-\alpha Z/\mu}\right] = \mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^{N} e^{-\frac{\alpha}{N\mu} x_i}\right] = \prod_{i=1}^{N} \mathbb{E}\left[e^{-\frac{\alpha}{N\mu} x_i}\right] \]

（\(Z = \frac{1}{N}\sum x_i\) を代入して指数を積に分け、独立な確率変数の積の平均は平均の積、という事実を使った。） 1 個ぶんの平均は指数分布の積分で求まる:

\[ \mathbb{E}\left[e^{-s x_i}\right] = \int_0^\infty \frac{1}{\mu}e^{-x/\mu} e^{-sx}\,dx = \frac{1}{1 + s\mu} \]

\(s = \alpha/(N\mu)\) を入れると \(1/(1 + \alpha/N)\)。これを \(N\) 個掛けて

\[ P_{fa} = \left(1 + \frac{\alpha}{N}\right)^{-N} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = N\left(P_{fa}^{-1/N} - 1\right) \]

検算しておこう。\(N \to \infty\)（推定が完璧、\(Z \to \mu\)）の極限では \((1+\alpha/N)^{-N} \to e^{-\alpha}\) となり、\(T = \alpha\mu\) とすれば 3 節の \(T = \mu\ln(1/P_{fa})\) に一致する。

有限の N には「推定のばらつき税」がかかる.

\(P_{fa}=10^{-6}\) のとき、必要な倍率は \(N=\infty\) で 11.4 dB だが、 \(N=16\) では \(\alpha = 16(10^{6/16}-1) \approx 21.9\) → 13.4 dB。 差の約 2 dB が CFAR ロス——雑音レベルを推定で済ませることへの手数料である。 \(N\) を増やせば税は減るが、次節の「参照窓に異物が入る」リスクが増える。

CFAR のしきい値を見る

Web 版のこの見出しの下には動く図がある。雑音レベルが途中で段になり、目標が 3 つある距離プロファイル（距離ごとの電力のグラフ）に対して、 固定しきい値と CA-CFAR・OS-CFAR（5 節）のしきい値線がどう追従するかを比べられる。

5. CA-CFAR の弱点と変種

CA-CFAR の仮定「参照セルは雑音だけ・一様」が崩れる場面が 2 つある。

場面何が起きるか対策
目標が密集（隣の車、二輪と車）参照窓に他の目標が入り、雑音推定が吊り上がる → しきい値が上がり互いをマスキング（隠し合い）OS-CFAR
クラッタの段差（路肩、雨域の境界）窓の半分だけレベルが高い → 推定が中途半端になり、境界で誤警報または感度低下GO/SO-CFAR など（CUT の左右の窓を別々に平均し、大きい方（GO: Greatest Of）または小さい方（SO: Smallest Of）を採用する変種）

OS-CFAR（Ordered Statistics CFAR、順序統計法）は、参照セルを小さい順にソートして k 番目の値（例: \(k = 3N/4\)、\(N = 16\) なら 12 番目）を 雑音推定に使う。少数の強い異物（他目標）はソートの上位に押しやられて推定に影響しない。 多目標環境に強く、車載では事実上の標準である。代償はソートの計算と、CA よりわずかに大きい CFAR ロス。

マスキングと OS-CFAR距離電力目標 A目標 BCA のしきい値（破線・赤）が隣の目標で吊り上がり B を隠すOS（緑点線）はソートしてk 番目を使う→異物に鈍感OS-CFAR: 参照セルを並べ替えて 3/4 位あたりの値を雑音推定に使う。少数の強い異物は上位に押しやられ効かない多目標が常態の車載では OS 系が事実上の標準。代償はソート計算とわずかな追加ロス
隣に強い目標がいると CA の平均は汚染される。順序統計（OS）は「多数決」で汚染を無視する

実装では RD マップに対して距離方向と速度方向の 2 次元窓（CUT を囲むリング状の参照セル。式の \(N\) はそのリングに含まれるセルの総数と読み替えればよい）で CFAR をかけ、 さらに「ピークであること」（隣接セルより大きい）を要求して 1 目標 1 検出に絞るのが定石である。

6. 検出の後 — 点群へ

CFAR を通過したセルは「検出点」となり、距離・速度・（角度推定（10 章）を経て）方位が付く。 1 台の車は複数セルにまたがるので、検出点をクラスタリング（かたまりにまとめる処理。近くに点が一定数以上あればつなげて 1 つのかたまりにする DBSCAN などの手法を使う）してから 追尾（15 章）へ渡す。ここから先、レーダーの出力は「点群」と呼ばれる形になる。

7. この章のまとめ

ポイント内容
検出は二択セルごとに H0/H1。誤警報 \(P_{fa}\) と検出 \(P_d\) のトレードオフ。目安 SNR 13 dB
固定しきい値の破綻指数分布の裾は敏感。雑音が 10 dB 動くと \(P_{fa}\) は桁で暴れる
CFAR周囲セルから雑音を推定し \(T = \alpha Z\)。\(\alpha = N(P_{fa}^{-1/N}-1)\)
CFAR ロス有限 \(N\) の推定ばらつき税（〜数 dB）
OS-CFARソートして k 番目。多目標のマスキングに強い。車載の標準
出力検出点 → クラスタリング → 点群 → 追尾へ