EM Simulation 08 · MoM — 未知数を表面だけにする

Chapter 08

MoM — 未知数を表面だけにする

この章のゴール.

「空間を刻まず、導体表面だけを刻む」という MoM の発想を理解すること。 積分方程式から行列方程式が出る流れを追えること。 そしてなぜ行列が密になり、なぜ MLFMA が必要になったかを説明できること。

この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. FDTD（01 章 5 節）、FEM（01 章 5 節）、MoM（01 章 5 節）、体積（01 章 5 節）、次元（01 章 5 節）、表面（01 章 5 節）、領域（01 章 5 節）、PEC（03 章 4 節）、非線形（03 章 6 節）

1. 発想の転換 — 場ではなく源を未知数にする

FDTD も FEM も、空間そのものを刻んで場の値を未知数にした。 だから金属アンテナ 1 本を解析するにも、その周りの空気を全部メッシュで埋める必要がある。

MoM（Method of Moments、モーメント法）は違う考え方をする。

空気の中で何が起きるかは、マクスウェル方程式の解として既に分かっている。 分からないのは「導体の表面に、どんな電流が流れているか」だけである。

放射・散乱を作っているのは表面電流なのだから、それだけを未知数にすればよい。

発想の転換 — 場ではなく、表面電流を未知数にするFDTD / FEM導体空気も全部メッシュするMoM導体表面電流だけが未知数。空気は刻まない「空気の中で何が起きるかは既に分かっている。分からないのは表面の電流だけ」未知数が体積から表面へ落ちる。しかも吸収境界（11 章）が要らない
アンテナのように「小さい導体が広い空間に浮いている」問題では、未知数の数が桁違いに減る
FDTD / FEMMoM
未知数空間全体の場導体表面の電流
次元体積（3D）表面（2D）
空気のメッシュ必要不要
境界条件吸収境界が必要（11 章）不要（無限遠の条件が自動的に入る）
行列疎密

「空気をメッシュしなくてよい」「吸収境界が要らない」——これが MoM の 2 大長所である。 アンテナのように「小さい導体が広い空間に浮いている」問題では、未知数の数が桁違いに減る。

2. グリーン関数 — 「点源が作る場」を知っている

MoM が空気を刻まずに済むのは、自由空間のグリーン関数を使うからである。

\[ G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{e^{-jk|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \]

これは「\(\mathbf{r}'\) に置かれた点源が、\(\mathbf{r}\) に作る場」を表す。

グリーン関数 — 点源が作る場を知っている点源 r′観測点 r|r − r′|G = e^(−jk|r−r′|) / (4π|r−r′|)分子 = 位相の遅れ（距離ぶん遅れて届く）分母 = 距離による減衰（1/R）グリーン関数は「無限遠で外向きに進む」放射条件を最初から満たしている→ MoM の解は自動的に正しい放射場になる。FDTD/FEM が PML で苦労して作る条件がただで手に入る
任意の電流分布が作る場は、点源の寄与を足し合わせるだけで得られる。これが「空気を刻まなくてよい」根拠である

分子の \(e^{-jk|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\) が位相の遅れ（距離ぶん遅れて届く）、 分母の \(|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\) が距離による減衰（1/R）である。

任意の電流分布が作る場は、点源の寄与を足し合わせるだけで得られる:

\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \mu\int_S \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\,dS' \]

（\(\mathbf{A}\) はベクトルポテンシャル。\(\mathbf{E}\) はここから微分で得られる。）

これが「無限遠の境界条件が自動で入る」ことの意味である.

グリーン関数は放射条件（無限遠で外向きに進む波だけがある）を最初から満たしている。 だから MoM の解は自動的に正しい放射場になる。 FDTD/FEM が PML（11 章）で苦労して作り出す条件が、MoM ではただである。

3. 積分方程式 — 未知数が積分の中に入る

導体表面での境界条件（03 章）は、PEC なら「接線電界がゼロ」である:

\[ \hat{n}\times\left(\mathbf{E}^{\text{入射}} + \mathbf{E}^{\text{散乱}}\right) = 0 \qquad \text{（導体表面上で）} \]

散乱電界は、上のグリーン関数を通して未知の表面電流 \(\mathbf{J}\) から作られる。 これを代入すると

\[ \hat{n}\times\mathbf{E}^{\text{入射}}(\mathbf{r}) = \hat{n}\times \left[ j\omega\mu \int_S \left(\mathbf{J}(\mathbf{r}') + \frac{1}{k^2}\nabla'\!\cdot\!\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\nabla\right) G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\,dS' \right] \]

未知数 \(\mathbf{J}\) が積分の中に入っている——これを積分方程式と呼ぶ。 上の形は電界を使うので EFIE（Electric Field Integral Equation）である。 磁界を使う MFIE、両者を混ぜて内部共振の問題を避ける CFIE もある。

積分方程式特徴
EFIE開いた面（薄い板、線状アンテナ）にも使える。行列の条件数が悪くなりやすい
MFIE閉じた面が必要。条件数が良い
CFIEEFIE + MFIE の線形結合。閉じた面での内部共振による偽解を防ぐ。散乱解析の標準

4. 行列方程式にする — MoM の名前の由来

積分方程式を数値的に解く。手順は FEM とよく似ている。

Step 1: 未知電流を基底関数で展開する。

\[ \mathbf{J}(\mathbf{r}') \approx \sum_{n=1}^{N} I_n\,\mathbf{f}_n(\mathbf{r}') \]

平面三角形メッシュ上では RWG 基底関数（Rao–Wilton–Glisson）が標準である。 隣り合う 2 つの三角形にまたがって定義され、共有辺を横切る電流の連続性を保証する。 ——ここでも「未知数は辺に住む」（07 章）。

Step 2: 試験関数を掛けて積分する（モーメントを取る）。

ここで\(\mathcal{L}\{\mathbf{J}\}\)は「電流\(\mathbf{J}\)からそれが作る電界を計算する積分」（上の積分方程式の左辺そのもの）を表す記号、 \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \int \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\, dS\)は面上での内積である。

\[ \left\langle \mathbf{f}_m,\ \mathcal{L}\{\mathbf{J}\}\right\rangle = \left\langle \mathbf{f}_m,\ \mathbf{E}^{\text{入射}}\right\rangle \]

この「試験関数との内積を取る」操作が統計でいうモーメントに似ていることから、モーメント法と呼ばれる。

Step 3: 行列方程式が出る。

\[ \boxed{\;\mathbf{Z}\,\mathbf{I} = \mathbf{V}\;} \]
積分方程式から行列方程式へ境界条件: 導体表面で E の接線 = 0散乱界を未知電流 J で表す（グリーン関数）→ J が積分の中に入る = 積分方程式J を基底関数で展開（RWG）試験関数と内積を取る（モーメントを取る）Z I = Vオームの法則の形Z = 相互インピーダンス行列I = 各基底の電流V = 入射波・給電の起電力ただし Z は密行列 —— すべての基底がすべてと相互作用するメモリ O(N²)、直接解法 O(N³)。ここが MoM の限界だった
RWG 基底関数は隣り合う 2 つの三角形にまたがり、共有辺を横切る電流の連続性を保証する——ここでも未知数は辺に住む
記号意味回路との対応
\(Z_{mn}\)基底 \(n\) の電流が基底 \(m\) の位置に作る電界の寄与相互インピーダンス行列
\(I_n\)各基底の電流係数電流ベクトル
\(V_m\)入射波（または給電）による起電力電圧ベクトル

\(\mathbf{Z}\mathbf{I}=\mathbf{V}\) はオームの法則そのものの形をしている。 MoM は「構造全体を巨大な連立回路方程式に翻訳する手法」と読むこともできる。

5. 密行列という代償

FEM の行列は疎だった（基底が局所的だから）。MoM の行列は密である。

なぜか: グリーン関数は距離が離れていてもゼロにならない（1/R でしか減らない）。 つまり「すべての基底が、すべての基底と相互作用する」。

項目スケーリング\(N=10^5\) のとき
メモリ（\(N^2\) 複素数）\(O(N^2)\)約 160 GB（倍精度複素数）
直接解法（LU 分解）\(O(N^3)\)非現実的
反復解法（1 回の行列ベクトル積）\(O(N^2)\)重い

未知数が表面だけで少ないという長所を、密行列という短所が食ってしまう。 これが 1990 年代まで MoM の限界だった。

MoM の行列を見る

未知数の数を変えて、密行列のメモリと計算量がどう増えるかを見られる。 MLFMA を有効にしたときのスケーリングの差も比較できる。

6. MLFMA — 遠い相互作用をまとめる

突破口が高速多重極法（FMM）と、その多階層版 MLFMA（Multi-Level Fast Multipole Algorithm）である。

MLFMA — 遠い相互作用をまとめる素朴な MoM: 全対全O(N²) の相互作用MLFMA: 箱にまとめる1 回箱と箱の相互作用に集約 → O(N log N)近い箱は厳密に、遠い箱は多重極展開でまとめて —— 天体力学の N 体問題と同じ発想これにより航空機の RCS・車両全体の EMC など、波長の数百倍の構造が現実的になった
集約（aggregation）→ 変換（translation）→ 展開（disaggregation）の 3 段で、遠距離相互作用を階層的に処理する

発想: 遠くの基底同士は、1 つ 1 つ相互作用を計算せず、 「グループとグループの相互作用」としてまとめて扱う。

天体力学の \(N\) 体問題で使われる Barnes–Hut 法や FMM と同じ考え方である。

段処理
1構造を階層的な箱（オクトツリー＝空間を 8 分割し、それを再帰的に繰り返してできる木構造）に分割する
2近い箱同士: 従来通り 1 対 1 で厳密に計算
3遠い箱同士: 各箱の電流を「等価な多重極展開」に集約（aggregation）→ 箱間で 1 回だけ変換（translation）→ 受け側で展開（disaggregation）

計算量とメモリが \(O(N^2)\) から \(O(N\log N)\) に落ちる。 これにより波長の数百倍の大きさの構造——航空機の RCS（レーダー断面積。どれだけレーダーに映るかの指標、15 章）、車両全体の EMC（電磁両立性。他機器に妨害を与えず、また受けない性質、19 章）解析——が現実的になった。

7. 層構造グリーン関数と 2.5D ソルバ

自由空間のグリーン関数の代わりに、層状媒質のグリーン関数を使うと、 基板の誘電体層と接地面をメッシュせずに扱える。

平面回路（マイクロストリップ＝誘電体基板の裏面をグラウンドにし、表面に細い導体を引いた伝送線路、パッチアンテナ、フィルタ）では、 メッシュするのは金属パターンだけでよくなる。

これが 2.5D プレーナ・ソルバ（Method of Moments ベースの平面回路ソルバ）である。

3D 汎用ソルバ2.5D プレーナ・ソルバ
扱える形状任意層構造 + 平面パターン + ビア
未知数体積または全表面金属パターンのみ
速度遅い圧倒的に速い（同じ問題で 10〜100 倍）
用途何でもRF 基板、MMIC（半導体チップ上に作り込んだマイクロ波回路）、パッチアンテナ、フィルタ

基板上の平面回路を設計するなら、まず 2.5D を試すのが定石である。 3D を使うのは、ワイヤボンド・筐体・厚い立体構造・強い放射が絡むときに限られる。

8. MoM の得手不得手

場面適性
導体主体のアンテナ・散乱体◎ 未知数が表面だけ
開放領域・放射問題◎ 吸収境界が不要
電気的に非常に大きい構造（RCS）◎（MLFMA 併用）
平面回路（2.5D）◎
複雑な不均質誘電体が詰まった構造× 体積積分方程式が要り、未知数が体積に戻る
広帯域△ 周波数ごとに行列を作り直す（\(Z_{mn}\) が \(k\) 依存）
時間応答・非線形×

9. この章のまとめ

ポイント内容
発想場ではなく表面電流を未知数に。空気をメッシュしない
グリーン関数点源の作る場。放射条件が自動で入るので吸収境界が不要
積分方程式未知数が積分の中。EFIE / MFIE / CFIE
行列\(\mathbf{Z}\mathbf{I}=\mathbf{V}\)。オームの法則の形。ただし密行列
MLFMA遠い相互作用をまとめて \(O(N\log N)\) へ。大規模問題を解放した
2.5D層構造グリーン関数で金属パターンだけをメッシュ。平面回路の第一選択