DSP 06 · 伝達関数・極と零点・安定性

Chapter 06

伝達関数・極と零点・安定性

この章で「差分方程式 → 伝達関数 → 極零点 → 周波数特性と安定性」という IIR 解析の一本道を通す。

この章の位置づけ: ここまでの道具が 1 本につながる. 05 章までで道具は揃った。この章はそれを使って、フィルタを「地図の上の点」として見る方法を手に入れる。

どういうことか。フィルタは普通、\(y[n] = 0.5x[n] + 0.9y[n-1]\)のような数式として与えられる。 これを見て「どんな音になるフィルタか」を言い当てるのは難しい。 ところがこの章の手順を踏むと、フィルタが複素平面上に打たれた数個の点（極と零点）に姿を変える。 そして——

数式とにらめっこする作業が、地図上の点の配置を眺める作業に変わる。これがこの章の収穫である。

この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. \(\delta[n]\)・\(u[n]\)（01 章 1 節）、複素数・共役・絶対値・偏角（02 章 0 節）、極形式と「掛け算 = 大きさを掛けて角度を足す」（02 章 3 節）、等比級数（02 章 5 節）、LTI システム・線形性（03 章 2 節）、畳み込み・インパルス応答（03 章 3 節）、因果的（03 章 5 節）、BIBO 安定（03 章 6 節）、Z 変換・ROC・極（05 章 1〜2 節）、時間シフト・畳み込み定理（05 章 3 節）、部分分数展開（05 章 4 節）

1. 差分方程式 — デジタルフィルタの実体

実装可能なデジタルフィルタは、次の線形定係数差分方程式で書ける:

（「差分方程式」という名前に構える必要はない。要は「今の出力を、今と過去の値から計算する漸化式」のこと。 数学の数列でやった\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)と同じ種類のもので、それが信号処理版になっただけである。以下では「差分方程式」で統一するが、漸化式・再帰式と呼んでも同じものを指す。 そして実は、これがそのまま実装コードになる——プログラムでは 1 行の代入文として書ける。）

\[ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] \]

直感: 「今の出力 = 入力の混ぜ合わせ + 自分の過去の出力の混ぜ合わせ」。 フィードバック項があると、入力が止まった後も出力が自分自身を材料にして鳴り続けられる。 これが「無限インパルス応答」の源泉。フィードバック項を持つフィルタを IIR（Infinite Impulse Response、無限インパルス応答）、持たないものを FIR（Finite Impulse Response）と呼ぶ（07 章）。

標準形として、フィードバック項を左辺に移項した形も使う。\(y[n]\) 自身を \(a_0 y[n]\)（\(a_0 = 1\)）と書けば、左辺は \(k = 0\) から始まる 1 つの和にまとまる:

\[ \sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k], \qquad a_0 = 1 \]

（確認: 左辺の \(k = 0\) の項 \(y[n]\) を残して \(k \geq 1\) の項を右辺に移すと、上の式に戻る。）

2. 伝達関数の導出

なぜ Z 変換するのか. 差分方程式には\(y[n-1]\)や\(x[n-2]\)といった「ずれた項」が混ざっていて、 このままでは「入力と出力の関係」を一言で言い表せない。 ところが 05 章 3 節(b)で見たとおり、Z 領域では「1 サンプルの遅れ」が単なる\(z^{-1}\)の掛け算になる。 つまり Z 変換すると、遅延だらけの厄介な式がただの多項式の掛け算に化ける。 そうなれば「出力 ÷ 入力」という割り算が普通にでき、フィルタの性質が 1 つの分数で表せるようになる。 その分数が伝達関数である。

差分方程式の両辺を Z 変換する。線形性と時間シフトの性質（05 章で導出済み:\(x[n-k] \leftrightarrow z^{-k}X(z)\)）より:

\[ \sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} X(z) \]

\(Y(z), X(z)\)はそれぞれ和の外に括り出せる:

\[ Y(z) \sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k} = X(z) \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} \]

よって伝達関数\(H(z) \equiv Y(z)/X(z)\)は:

\[ \boxed{ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}} } \]

一方、出力は畳み込み \(y = x * h\) なので、05 章の畳み込み定理より \(Y(z) = \mathcal{Z}\{h\}\, X(z)\)。 これを上の \(Y(z) = H(z) X(z)\) と見比べれば \(H(z) = \mathcal{Z}\{h\}\)、すなわち\(H(z)\)はインパルス応答\(h[n]\)の Z 変換でもある （別の言い方: 入力に \(\delta[n]\) を入れると \(X(z) = 1\) なので \(Y(z) = H(z)\)、そのときの出力が定義により \(h[n]\)）。 つまり:

差分方程式の係数\(\{a_k, b_k\}\)（実装コード）と、伝達関数\(H(z)\)（数学的解析）と、 インパルス応答\(h[n]\)（時間波形）は、同じフィルタの 3 つの顔である。

3. 極と零点

分子・分母は\(z^{-1}\)の多項式なので、因数分解できる。分子分母に\(z^{N}\)を掛けると（\(N \geq M\) の場合で書く）

\[ H(z) = \frac{z^N (b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M})}{z^N (1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N})} = \frac{z^{N-M}\,(b_0 z^M + b_1 z^{M-1} + \cdots + b_M)}{z^N + a_1 z^{N-1} + \cdots + a_N} \]

と、分子は \(z^{N-M}\) × \(M\) 次多項式、分母は \(N\) 次多項式になる。\(M\) 次多項式は \(b_0 \prod_{i=1}^{M}(z - q_i)\)、分母は \(\prod_{i=1}^{N}(z - p_i)\) と因数分解できる（\(\prod\) は \(\sum\) の掛け算版で、\(\prod_{i=1}^{M}\) は \(i = 1\) から \(M\) までの積）ので:

\[ H(z) = b_0 z^{N-M} \frac{\prod_{i=1}^{M} (z - q_i)}{\prod_{i=1}^{N} (z - p_i)} \]

（\(M > N\) なら \(z^{M}\) を掛けて同じことをすればよく、そのとき \(z^{N-M}\) は負のべきになる。式の形は同じ。）

名前の由来と、覚え方. 「零点」は文字どおりゼロになる点。分子がゼロになるので、そこで伝達関数の値が 0 に落ちる。 「極」は極端に大きくなる点（英語の pole は「柱」）。分母がゼロになるので値が無限大に吹き飛ぶ。

なぜこの 2 種類が主役かというと、分数は分子と分母だけで決まるから。 分子の根（零点）と分母の根（極）さえ全部分かれば、定数倍を除いて伝達関数は完全に決まってしまう。 つまり極と零点の一覧表 = フィルタの設計図である。以降ずっとこの見方で進む。

係数\(\{a_k, b_k\}\)が実数なら、極・零点は実数か、複素共役対で現れる （実係数多項式の根の性質: \(P(z) = \sum_k c_k z^k\) で係数 \(c_k\) が実数なら、共役は和と積に分配できて \(c_k^* = c_k\) なので \(P(p)^* = \sum_k c_k (p^*)^k = P(p^*)\)。よって\(P(p) = 0\)の両辺の共役をとると\(P(p^*) = 0\)、つまり \(p^*\) も根）。

直感: ゴム膜のたとえ

\(|H(z)|\)を\(z\)平面上の高さと見なすと:

周波数特性\(|H(e^{j\omega})|\)は、このゴム膜を単位円に沿って一周切り取った断面の高さ。 極の近くを通れば山（ゲイン大）、零点の近くを通れば谷（ゲイン小）ができる。

ゴム膜の 3D 図と周波数特性
図: このたとえをそのまま描いたもの。左の曲面が\(|H(z)|\)で、共役極対の位置に 2 本の支柱、\(z=\pm1\)の零点に 2 本のペグが見える。赤線 = 単位円に沿った断面が、右の周波数特性そのものになる。

4. 周波数特性の図形的解釈(導出)

\(z = e^{j\omega}\)を因数分解形に代入して絶対値をとる:

\[ |H(e^{j\omega})| = |b_0| \cdot \frac{\prod_{i=1}^{M} |e^{j\omega} - q_i|}{\prod_{i=1}^{N} |e^{j\omega} - p_i|} \]

（\(|z^{N-M}| = |e^{j\omega}|^{N-M} = 1\)なので消える。絶対値は積・商に分配される:\(|AB| = |A||B|\)——極形式で書けば「掛け算は大きさを掛ける」（02 章 3 節）そのもの。）

ここで\(|e^{j\omega} - q_i|\)は、単位円上の点\(e^{j\omega}\)から零点\(q_i\)までのユークリッド距離である （複素数の差の絶対値 = 2 点間距離）。よって:

\[ \boxed{|H(e^{j\omega})| = |b_0| \frac{\text{各零点までの距離の積}}{\text{各極までの距離の積}}} \]

同様に偏角について\(\angle(AB/C) = \angle A + \angle B - \angle C\)（「掛け算は角度を足す」）より。振幅では消えた \(z^{N-M}\) も、偏角では \(\angle (e^{j\omega})^{N-M} = (N-M)\omega\) として残る:

\[ \angle H(e^{j\omega}) = \angle b_0 + (N-M)\omega + \sum_i \angle(e^{j\omega} - q_i) - \sum_i \angle(e^{j\omega} - p_i) \]

直感

単位円上を歩く点\(e^{j\omega}\)を想像する（\(\omega\): 0 → π）。

フィルタ設計とは、通過させたい周波数の近くに極を、消したい周波数の上に零点を配置するゲームである。

5. 安定性の定理と導出(この章のクライマックス)

定理

因果的（03 章 5 節）LTI システムが BIBO 安定（03 章 6 節）⟺ すべての極が単位円の内側（\(|p_i| < 1\)）にある。

導出

準備: 因果的で有理伝達関数を持つシステムのインパルス応答は、部分分数展開（05 章）により

\[ h[n] = \sum_{i=1}^{N} A_i p_i^n u[n] \]

の形になる（まず単根の場合を考える。\(M \geq N\) のときは、分子を分母で割り算して \(H(z) = \)（\(z^{-1}\) の多項式）\(+\)（分子の次数が分母より低い分数）に分けられ、多項式の部分は \(\delta[n-k]\) 型の有限個の項を与える。有限和なので安定性に影響しない）。

（⇐）すべての\(|p_i| < 1\)⇒ 安定:

03 章の安定条件\(\sum_n |h[n]| < \infty\)を確認する。三角不等式より:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=0}^{\infty} \left|\sum_{i} A_i p_i^n\right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i} |A_i| |p_i|^n = \sum_{i} |A_i| \sum_{n=0}^{\infty} |p_i|^n = \sum_{i} \frac{|A_i|}{1 - |p_i|} < \infty \]

（等比級数は\(|p_i| < 1\)で収束。有限個の有限値の和は有限。）∎

（⇒）ある極\(|p_1| \geq 1\)⇒ 不安定:

対偶を示す。\(|p_1| \geq 1\)の極があるとする（\(A_1 \neq 0\)、簡単のため\(|p_1|\)が最大の極で他の極と大きさが異なるとする。大きさの等しい極が複数ある場合も結論は変わらないが、証明が長くなるので事実として引用する）。 このとき\(n \to \infty\)で

\[ |h[n]| = |p_1|^n \left|A_1 + \sum_{i \geq 2} A_i \left(\frac{p_i}{p_1}\right)^n\right| \]

\(|p_i / p_1| < 1\)より括弧内の和 \(\varepsilon_n = \sum_{i \geq 2} A_i (p_i/p_1)^n\) は 0 に収束する。三角不等式を \(|A_1| = |(A_1 + \varepsilon_n) - \varepsilon_n| \leq |A_1 + \varepsilon_n| + |\varepsilon_n|\) と使うと \(|A_1 + \varepsilon_n| \geq |A_1| - |\varepsilon_n|\) なので、\(|\varepsilon_n| \leq |A_1|/2\) となる十分大きい\(n\)では括弧内は\(|A_1|/2\)以上。よって

\[ |h[n]| \geq \frac{|A_1|}{2} |p_1|^n \geq \frac{|A_1|}{2} \quad (\because |p_1| \geq 1) \]

\(h[n]\)が 0 に収束しないので\(\sum |h[n]|\)は発散。BIBO 安定でない。∎

重根の場合: 重複度\(m\)の極には\(n^{m-1} p^n u[n]\)型の項が現れる（05 章の z 領域微分から導かれる）。 \(|p| < 1\)なら、任意の多項式次数に対して指数減衰が勝つ: \(\sum_n n^{m-1} |p|^n\)は例えばダランベールの判定法（正の項の級数で、隣り合う項の比の極限が 1 未満なら収束する、という判定法。事実として使う）で、隣接項比

\[ \frac{(n+1)^{m-1}|p|^{n+1}}{n^{m-1}|p|^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{m-1} |p| \longrightarrow |p| < 1 \quad (n \to \infty) \]

より収束。よって結論は変わらない。∎

直感

6. 例: 2 次共振器で全部つなげる

\[ H(z) = \frac{1}{1 - 2r\cos\theta z^{-1} + r^2 z^{-2}}, \qquad 0 < r < 1 \]

極の導出: 分母\(= 0\)とおき、\(z^2\)を掛けて\(z^2 - 2r\cos\theta z + r^2 = 0\)。解の公式:

\[ z = \frac{2r\cos\theta \pm \sqrt{4r^2\cos^2\theta - 4r^2}}{2} = r\cos\theta \pm r\sqrt{\cos^2\theta - 1} = r\cos\theta \pm j r\sin\theta = r e^{\pm j\theta} \]

（\(\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta\) なので \(\sqrt{-\sin^2\theta} = j|\sin\theta|\)。\(\pm\) が両方の符号を覆うので \(\sin\theta\) の符号によらず \(\pm jr\sin\theta\) と書ける。最後はオイラーの公式。）

極は\(p = re^{j\theta}\)とその共役。すなわち半径\(r\)、角度\(\pm\theta\)の共役対。

対応する差分方程式（伝達関数の定義を逆にたどる）:

\[ y[n] = x[n] + 2r\cos\theta y[n-1] - r^2 y[n-2] \]

インパルス応答: 05 章末尾の結果より\(h[n] \propto r^n \cos(\theta n + \phi)\)型の減衰振動。

周波数特性: 単位円上の点が \(\omega = \theta\) を通るとき極 \(re^{j\theta}\) までの距離はちょうど \(1-r\) で最小になり、 ゲインは \(\frac{1}{1-r}\) に比例して跳ね上がる（正確にはもう 1 つの極 \(re^{-j\theta}\) までの距離 \(\approx 2\sin\theta\) でも割るが、\(r\) を 1 に近づけたときに効くのは \(1-r\) の方）。→ 中心周波数\(\omega = \theta\)、鋭さ\(r\)で決まるバンドパス（共振）特性。

これで「係数 2 個の差分方程式」「共役極の位置」「減衰振動の余韻」「共振ピーク」が全部同じものの別名だと分かる。

2 次共振器: 極の半径と共振の鋭さ
図: 極を単位円に近づける(\(r \to 1\))ほど、単位円上の点との最小距離\(1-r\)が縮み、ピークが\(\frac{1}{1-r}\)に比例して鋭く跳ね上がる。「極までの距離の逆数」という図形的解釈の実演。