Chapter 05

Z 変換 — IIR 解析の中核ツール

IIR フィルタの設計・解析はほぼすべて Z 変換の上で行われる。ここが本シリーズの数学的な山場。

身構える前に: Z 変換は「DTFT の守備範囲を広げただけ」. 04 章の DTFT には弱点があった。足すと無限大になってしまう信号には使えないのである。ところが IIR フィルタの解析では、まさにその「発散する信号」（設計に失敗して暴走したフィルタの応答など）も扱いたい。壊れた機械を調べるのに「壊れた機械には使えない測定器」しかないのでは困る。
そこで一工夫する。発散する信号にオモリを付けて、無理やり収束させてから DTFT する。このオモリの強さを調節できるようにしたものが Z 変換である。それだけ。
そして「どのくらいの強さのオモリなら収束するか」という記録が、この章で一番の難所である ROC（収束領域） の正体になる。順を追えば怖くない。
この章で使う既出の用語（定義は各リンク先）. \(u[n]\)（01 章 1 節）、複素数・絶対値・偏角（02 章 0 節）、極形式（02 章 3 節）、等比級数（02 章 5 節）、インパルス応答（03 章 3 節）、畳み込み（03 章）、因果的（03 章 5 節）、BIBO 安定（03 章 6 節）、DTFT（04 章）

1. 定義と動機

定義

信号\(x[n]\)の（両側）Z 変換:

\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}, \qquad z \in \mathbb{C} \]

（\(\mathbb{C}\) は複素数全体の集合。\(z\) は任意の複素数をとれる変数、という意味。）

なぜ DTFT だけでは足りないのか

DTFT は\(\sum_n |x[n]| < \infty\)の信号にしか使えない。ところが IIR の解析では発散するかもしれない信号（不安定なフィルタのインパルス応答など）も扱いたい。

そこで\(z\) を極形式 \(z = r e^{j\omega}\)（\(r = |z| > 0\) は実数）と置いてみると:

\[ X(re^{j\omega}) = \sum_n x[n] r^{-n} e^{-j\omega n} = \sum_n \left(x[n] r^{-n}\right) e^{-j\omega n} \]

これは「\(x[n]\)に減衰の重み\(r^{-n}\)を掛けてから DTFT したもの」。 \(x[n]\)が発散する信号でも、その増え方が指数的（ある定数 \(C, R\) で \(|x[n]| \leq C R^n\)）なら、\(r > R\) と取れば\(x[n]r^{-n}\)は収束させられる。フィルタの応答はすべてこの指数型なので、実用上はこれで足りる。つまり Z 変換は「重み付きで無理やり収束させられるようにした DTFT の拡張」である。

DTFT との関係

\(r = 1\)、すなわち\(z = e^{j\omega}\)と置く。\(|e^{j\omega}| = 1\) なのでこれは複素平面で原点を中心とする半径 1 の円（単位円）上の点である。すると:

\[ X(z)\Big|_{z = e^{j\omega}} = \sum_n x[n] e^{-j\omega n} = X(e^{j\omega}) \quad (\text{DTFT そのもの}) \]

Z 変換を複素平面全体で定義しておき、単位円の上をなぞると周波数特性が読める。

この絵は今後ずっと使う。\(z\)平面の単位円を反時計回りに一周することが「\(\omega\)を\(0\)から\(2\pi\)まで動かす」ことに対応する。

z 平面と単位円 — 図: Z 変換は複素平面全体で定義され、そのうち**単位円上をなぞった値が周波数特性**（DTFT）になる。\(\omega=0\) が \(z=1\)、\(\omega=\pi\) が \(z=-1\) に対応し、円周を一周することが \(\omega\) を \(0\) から \(2\pi\) まで動かすことに等しい。

2. 収束領域(ROC)

Z 変換の級数が絶対収束する\(z\)の集合を ROC (Region of Convergence) と呼ぶ。 同じ式でも ROC が違えば別の信号を表すので、Z 変換は常に ROC とセットで考える。

ROC とは何か、なぜ必要か（一番の難所なので丁寧に）.
① ROC は「どのくらいのオモリなら効いたか」の記録である。 上で見たとおり、Z 変換は信号に\(r^{-n}\)というオモリを掛けてから DTFT したもの（\(z = re^{j\omega}\)の\(r\)がオモリの強さ）。オモリが弱すぎれば和は発散したままだし、強すぎても別の意味で発散することがある。 うまく収束してくれた\(r\)の範囲——それが ROC。複素平面上では「ドーナツ状の領域」として描かれる。
② なぜ「式だけ」ではダメなのか. これから見るように、まったく違う 2 つの信号が、まったく同じ数式の Z 変換を持つことがある。数式だけ渡されても、元の信号がどちらだったか区別できない。区別する情報が ROC である。「\(x^2 = 4\) の解は \(+2\) と \(-2\) のどちらか、は式だけでは決まらない」のと似た状況で、 式 + ROC の 2 点セットで初めて 1 つの信号が定まる。
③ 実用上、ROC はたった 1 つのことを教えてくれる。 込み入って見えるが、フィルタ屋にとって ROC の使い道はほぼ 1 つだけ: 「ROC が単位円（\(|z|=1\)）を含むか?」= 「そのフィルタは安定か?」。 \(|z|=1\) とは「オモリを一切掛けない（\(r=1\)）」ということ。オモリ無しで和が収束する = 素の信号がちゃんと減衰している = 安定、というわけである。この 1 点だけ押さえておけば、以下の細かい話は後から効いてくる。

例 1: 右側信号\(x[n] = a^n u[n]\)（導出）

\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (a z^{-1})^n \]

公比\(az^{-1}\)の等比級数なので、収束条件は\(|az^{-1}| < 1 \Leftrightarrow |z| > |a|\)（02 章 5 節）。このとき（2 つ目の等号は分母・分子に \(z\) を掛けたもの）:

\[ \boxed{X(z) = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \qquad \text{ROC}: |z| > |a|} \]

ROC は「半径\(|a|\)の円の外側」。\(X(z)\) が無限大になる点 \(z = a\)（分母 \(1 - az^{-1} = 0\)）をこの Z 変換の極と呼ぶ（一般の定義は 06 章）。 \(n < 0\) で 0 の信号（この例のように \(u[n]\) が掛かったもの）を右側信号と呼び、これはシステムのインパルス応答なら因果的（03 章 5 節）ということである。

例 2: 左側信号\(x[n] = -a^n u[-n-1]\)（導出）

\(u[-n-1]\)は\(n \leq -1\)で 1。つまりこの信号は「過去にだけ存在」する。このように \(n \geq 0\) で 0 の信号を左側信号と呼ぶ:

\[ X(z) = -\sum_{n=-\infty}^{-1} a^n z^{-n} \]

\(m = -n\)（\(n = -1 \to m = 1\)、\(n \to -\infty \to m \to \infty\)）と置換:

\[ X(z) = -\sum_{m=1}^{\infty} a^{-m} z^{m} = -\sum_{m=1}^{\infty} (a^{-1} z)^m \]

公比\(a^{-1}z\)の等比級数（初項は\(m=1\)から）。収束条件は\(|a^{-1}z| < 1 \Leftrightarrow |z| < |a|\)。 \(\sum_{m=1}^\infty r^m = \frac{r}{1-r}\)（\(\sum_{m=0}^\infty r^m = \frac{1}{1-r}\)から\(m=0\)の項 1 を引いた）を使うと:

\[ X(z) = -\frac{a^{-1}z}{1 - a^{-1}z} \overset{\times a/a}{=} -\frac{z}{a - z} = \frac{z}{z - a} \overset{\times z^{-1}/z^{-1}}{=} \frac{1}{1 - az^{-1}}, \qquad \text{ROC}: |z| < |a| \]

（2 番目の等号は分母・分子に \(a\) を掛けた。3 番目は分母の符号を反転してマイナスを消した。4 番目は分母・分子に \(z^{-1}\) を掛けた。）

例 1 と完全に同じ式になった。違いは ROC だけ:

信号	式	ROC
\(a^n u[n]\)（未来へ減衰）	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\lvert z\rvert > \lvert a\rvert\)（円の外側）
\(-a^n u[-n-1]\)（過去へ伸びる）	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\lvert z\rvert < \lvert a\rvert\)（円の内側）

ROC の性質（重要なものだけ）

右側信号（因果的信号）の ROC は最も外側の極より外側（例 1 のパターン）。
左側信号の ROC は最も内側の極より内側（例 2 のパターン）。
ROC が単位円\(|z|=1\)を含む ⟺ DTFT が存在 ⟺ システムなら BIBO 安定。（理由:\(|z|=1\)上で絶対収束 ⟺\(\sum_n |x[n] \cdot 1^{-n}| = \sum_n |x[n]| < \infty\)。これは 03 章の安定条件そのもの。）

直感: ROC は「どのくらい強い減衰の重み\(r^{-n}\)を掛ければ和が収束するか」の記録。因果的な信号は未来方向に伸びるので、外側（強い減衰重み）で収束する。

ROC の 2 パターン — 図: 例 1(左)と例 2(右)。\(X(z)\)の式は完全に同一で、ROC(青)だけが違う。左は ROC が単位円を含むので DTFT が存在する = 安定な因果信号。

3. Z 変換の性質(すべて導出)

以下、\(\mathcal{Z}\{x[n]\}\)は「\(x[n]\)の Z 変換」すなわち\(X(z) = \sum_n x[n] z^{-n}\)を表す記号とする。

(a) 線形性

\[ \mathcal{Z}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = \sum_n (a x_1[n] + b x_2[n]) z^{-n} = a X_1(z) + b X_2(z) \]

（ROC は少なくとも両者の ROC の共通部分。）

(b) 時間シフト — IIR で最も重要な性質

\[ \mathcal{Z}\{x[n - n_0]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n - n_0] z^{-n} \]

\(m = n - n_0\)と置換（\(n = m + n_0\)）:

\[ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-(m + n_0)} = z^{-n_0} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-m} = z^{-n_0} X(z) \qquad \blacksquare \]

\[ \boxed{x[n-1] \longleftrightarrow z^{-1} X(z)} \]

（\(\longleftrightarrow\) は「左の信号の Z 変換が右である」という対応（Z 変換対）を表す記号。）

直感: \(z^{-1}\)は「1 サンプル遅延」の記号。ブロック図で遅延素子を\(z^{-1}\)と書くのはこのため。差分方程式（\(y[n-1]\)などを含む式）が Z 領域では多項式の掛け算になる。これが 06 章で伝達関数を作る鍵。

(c) 畳み込み定理

\[ \mathcal{Z}\{(x * h)[n]\} = \sum_n \left[\sum_k x[k] h[n-k]\right] z^{-n} \]

和の順序交換、\(z^{-n} = z^{-k} z^{-(n-k)}\)と分解、内側で\(m = n-k\)と置換:

\[ = \sum_k x[k] z^{-k} \sum_m h[m] z^{-m} = X(z) H(z) \qquad \blacksquare \]

（DTFT の畳み込み定理の導出と同じ流れ。ROC は両者の共通部分を含む。）

\[ \boxed{y = x * h \longleftrightarrow Y(z) = X(z) H(z)} \]

(d) 指数重み（z 領域スケーリング）

\[ \mathcal{Z}\{a^n x[n]\} = \sum_n a^n x[n] z^{-n} = \sum_n x[n] \left(\frac{z}{a}\right)^{-n} = X\left(\frac{z}{a}\right) \]

直感: 時間領域で\(a^n\)を掛けると、\(z\)平面の極や零点がすべて\(a\)倍の位置に移動する。「減衰を強くする = 極を原点に引き寄せる」という操作に対応。

(e) z 領域微分

\(X(z) = \sum_n x[n] z^{-n}\)を\(z\)で微分する（べき級数は収束域の内側では項ごとに微分してよい、という解析学の事実を使う）:

\[ \frac{dX(z)}{dz} = \sum_n x[n] \cdot (-n) z^{-n-1} \]

両辺に\(-z\)を掛ける:

\[ -z \frac{dX(z)}{dz} = \sum_n n x[n] z^{-n} = \mathcal{Z}\{n x[n]\} \qquad \blacksquare \]

用途: 重根（多重極）を持つ場合の逆変換で使う。

応用例（導出）:\(x[n] = n a^n u[n]\)の Z 変換。 \(X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}}\)（\(a^n u[n]\)のもの）に (e) を適用:

\[ \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-az^{-1}}\right) = \frac{d}{dz}\left(\frac{z}{z-a}\right) = \frac{(z-a) - z}{(z-a)^2} = \frac{-a}{(z-a)^2} \]

（商の微分法則を使用。）よって:

\[ \mathcal{Z}\{n a^n u[n]\} = -z \cdot \frac{-a}{(z-a)^2} = \frac{az}{(z-a)^2} = \frac{a z^{-1}}{(1 - a z^{-1})^2}, \qquad |z| > |a| \]

（最後の等号は分母・分子を \(z^2\) で割った: \((z-a)^2/z^2 = (1 - az^{-1})^2\)、\(az/z^2 = az^{-1}\)。）

4. 逆 Z 変換 — 部分分数展開法

IIR の伝達関数（出力の Z 変換 ÷ 入力の Z 変換。06 章で定義する）は\(z^{-1}\)の有理関数（多項式 ÷ 多項式）になるので、逆変換は部分分数展開でほぼ機械的にできる。手順を実例で示す。

何のためにやるのか. Z 変換した後の世界（\(X(z)\)）は計算がしやすいが、最後は「で、実際の波形はどうなるの?」という時間の世界に戻ってきたい。その帰り道が逆 Z 変換である。
ただし帰り道の計算を真面目にやると複素積分（留数定理）が必要になり、非常に面倒。そこで賢い抜け道を使う: 複雑な分数を、答えを知っている簡単な分数の足し算にバラす。 \(\frac{1}{1-az^{-1}}\)という形なら「\(a^n u[n]\)」と答えが分かっている（2 節の例 1）ので、どんなに複雑な\(X(z)\)も、この形の足し算に分解できれば、あとは各項を答えに置き換えて足すだけで済む。
高校で習った「\(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\)」という部分分数分解と、やっていることは全く同じ。

例題

\[ X(z) = \frac{1}{(1 - \tfrac{1}{2}z^{-1})(1 - \tfrac{1}{4}z^{-1})}, \qquad \text{ROC}: |z| > \tfrac{1}{2} \]

ステップ 1: 部分分数の形を仮定

\[ X(z) = \frac{A}{1 - \tfrac{1}{2}z^{-1}} + \frac{B}{1 - \tfrac{1}{4}z^{-1}} \]

ステップ 2: 係数の決定（ヘヴィサイドの被覆法。導出込み）

両辺に\((1 - \tfrac{1}{2}z^{-1})\)を掛ける:

\[ \frac{1}{1 - \tfrac{1}{4}z^{-1}} = A + B\frac{1 - \tfrac{1}{2}z^{-1}}{1 - \tfrac{1}{4}z^{-1}} \]

ここで\(z^{-1} = 2\)（つまり極\(z = \tfrac{1}{2}\)）を代入すると\(B\)の項は分子が\(1 - \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0\)となって消える（この点は ROC の外だが問題ない。ROC は「級数がその式に等しくなる範囲」であって、上の等式は分数式どうしの恒等式なので、両辺が定義される \(z\) ならどこで評価してもよい）:

\[ A = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{4}\cdot 2} = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{2}} = 2 \]

同様に両辺に\((1 - \tfrac{1}{4}z^{-1})\)を掛けて\(z^{-1} = 4\)を代入:

\[ B = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{2}\cdot 4} = \frac{1}{1 - 2} = -1 \]

検算:\(\dfrac{2}{1-\frac12 z^{-1}} - \dfrac{1}{1-\frac14 z^{-1}} = \dfrac{2(1-\frac14 z^{-1}) - (1-\frac12 z^{-1})}{(1-\frac12 z^{-1})(1-\frac14 z^{-1})} = \dfrac{2 - \frac12 z^{-1} - 1 + \frac12 z^{-1}}{(\cdots)} = \dfrac{1}{(\cdots)}\)✓

ステップ 3: 各項を逆変換

ROC が\(|z| > \tfrac{1}{2}\)（両方の極の外側）なので、どちらの項も右側信号（例 1 のパターン）として読む:

\[ \frac{2}{1 - \tfrac{1}{2}z^{-1}} \longleftrightarrow 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n], \qquad \frac{-1}{1 - \tfrac{1}{4}z^{-1}} \longleftrightarrow -\left(\tfrac{1}{4}\right)^n u[n] \]

\[ \therefore x[n] = \left[2\left(\tfrac{1}{2}\right)^n - \left(\tfrac{1}{4}\right)^n\right] u[n] \]

ここから得られる一般的な洞察（IIR の本質）

有理関数の Z 変換を持つ因果的信号は、部分分数展開により必ず

\[ x[n] = \sum_i A_i (p_i)^n u[n] \]

の形になる（極 \(p_i\) が \(m_i\) 重根のときは、その極の項が \(\sum_{k=0}^{m_i - 1} A_{ik} n^k p_i^n u[n]\) に置き換わる。3 節(e) の z 領域微分で出た \(n a^n u[n]\) がその \(k = 1\) の例）。\(p_i\)は極。つまり:

IIR フィルタのインパルス応答は「極\(p_i\)を底とする指数列の重ね合わせ」（実数の極なら単調な指数減衰、複素数の極なら下で見る減衰振動）であり、すべての\(|p_i| < 1\)のときに限り\(n \to \infty\)で減衰する。

複素数の極\(p = re^{j\theta}\)の場合、実係数システムでは必ず共役対\(p^* = re^{-j\theta}\)とセットで現れ、係数も共役対 \(A, A^*\) になる。 \(A\) を極形式 \(A = |A| e^{j\angle A}\)（\(\angle A\) は \(A\) の偏角）で書くと \(A p^n = |A| e^{j\angle A} r^n e^{j\theta n} = |A| r^n e^{j(\theta n + \angle A)}\)、共役側は指数の符号が全部反転するので、対応する項は

\[ A p^n + A^* (p^*)^n = |A| r^n \left(e^{j(\theta n + \angle A)} + e^{-j(\theta n + \angle A)}\right) = 2|A| r^n \cos(\theta n + \angle A) \]

つまり減衰率\(r\)、角周波数\(\theta\)の減衰振動になる（鐘の「ゴーン」の余韻の数学的正体）。

共役極対が生む減衰振動 — 図: 上式の実例。極の半径\(r\)が包絡線の減衰率、極の角度\(\theta\)が振動の速さを決める。IIR のインパルス応答はこの形の項の重ね合わせでできている。